Extreme harmonic functions and boundary value problems
Annales de l'Institut Fourier, Volume 13 (1963) no. 2, p. 307-356

On introduit axiomatiquement une notion d’ensemble effilé et d’ensemble d’approximation fine généralisant l’effilement de L. Naïm à la frontière de Martin. Dans le cas particulier, de la théorie axiomatique du potentiel de M. Brelot surtout considéré ici, cela conduit à réaliser les fonctions harmoniques minimales >0 (à un facteur près) comme des points d’une frontière généralisant la partie utile de la frontière de Martin, et la trace du filtre des voisinages d’un tel élément se compose précisément des ensembles d’approximation fine. Un principe de minimum avec cette frontière pour les fonctions surharmoniques est démontré ; ce principe conduit à l’étude d’un problème de Dirichlet avec cette frontière. Grâce à un axiome supplémentaire (axiome de résolutivité) on étend les résultats de Fatou-Naïm-Doob sur l’allure à la frontière des fonctions surharmoniques dans la théorie axiomatique. Enfin on trouve que le dernier axiome est vérifié dans le cas important de “proportionalité” dit aussi “cas d’unicité”.

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Gowrisankaran, Kohur. Extreme harmonic functions and boundary value problems. Annales de l'Institut Fourier, Volume 13 (1963) no. 2, pp. 307-356. doi : 10.5802/aif.148. http://www.numdam.org/item/AIF_1963__13_2_307_0/

[1] H. Bauer, Weiterführung einer axiomatischen Potentialtheorie ohne Kern (Existenz von Potentialen). Z. Wahrscheinlichkeitstheorie 1963, 1, 197-229. | MR 27 #5926 | Zbl 0216.10301

[2] M. Brelot, Sur le principe des singularités positives et la topologie de R. S. Martin, Annales Univ. Grenoble Math. Phys., 23, 1948, 113-138. | Numdam | MR 10,192b | Zbl 0030.25601

[3] M. Brelot, Topology of R. S. Martin and Green Lines, Lectures on functions of a complex variable, Michigan Univ. Press, 1955, 105-121. | MR 16,1108c | Zbl 0068.06101

[4] M. Brelot, Le problème de Dirichlet avec la frontière de Martin, C. R. Ac. Sc., 240, 1955, 142. | MR 16,923d | Zbl 0064.09901

[5] M. Brelot, Le problème de Dirichlet. Axiomatique et frontière de Martin, Journal de Math., 35, 1956, 297-335. | MR 20 #6607 | Zbl 0071.10001

[6] M. Brelot, Lectures on Potential Theory. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1960. | MR 22 #9749 | Zbl 0098.06903

[7] M. Brelot, Séminaire de Théorie du Potentiel, I et II, 1957-1958.

[8] M. Brelot and J. L. Doob, Limites fines et limites angulaires, these Annales 13, 1963. | Numdam | MR 33 #4299 | Zbl 0132.33902

[9] G. Choquet, Existence et unicité des représentations intégrales au moyen des points extremaux dans les cônes convexes, Seminaire Bourbaki, 130, December, 1956. | Numdam | MR 18,219b | Zbl 0121.09204

[10] G. Choquet and P. A. Meyer, Annales Inst. Fourier, t. 13, 1963, 138-154. | Numdam | Zbl 0122.34602

[11] J. L. Doob, Conditional Brownian motion and Boundary limits of harmonic functions, Bull. Soc. Math. France, 85, 1957, 431-458. | Numdam | MR 22 #844 | Zbl 0097.34004

[12] J. L. Doob, A non probabilistic proof of the relative Fatou Theorem, Annales Inst. Fourier, t. 9, 1959, 295. | Numdam | MR 22 #8233 | Zbl 0095.08203

[13] J. L. Doob, Discrete Potential Theory and Boundaries, Journal of Maths. and Mechanics, 8, 1959, p. 433-458. | MR 21 #5825 | Zbl 0101.11503

[13 bis] J. L. Doob : A relativized Fatou Theorem, Proc. Nat. Ac. Sc. vol. 45 p. 215 (1959). | MR 21 #5822 | Zbl 0106.07801

[14] P. Fatou, Séries trigonométriques et Séries de Taylor, Acta Mathematica, 30, 1906, 335-400. | JFM 37.0283.01

[15] K. Gowrisankaran, Limites fines "à la frontière" dans la théorie axiomatique du potentiel de M. Brelot, C. R. Ac. Sc., 255, 1962, 450. | MR 27 #335 | Zbl 0114.30703

[16] K. Gowrisankaran, Limites fines et problème de Dirichlet en théorie axiomatique des fonctions harmoniques. C. R. Ac. Sc., 256, 1963, 357. | MR 26 #5174 | Zbl 0114.30704

[17] R. M. Hervé, Recherches Axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Annales Inst. Fourier, 12, 1962, 415-571. | Numdam | MR 25 #3186 | Zbl 0101.08103

[18] L. H. Loomis, Introduction to Abstract Harmonic Analysis, von Nostrand Publication. | Zbl 0052.11701

[19] R. S. Martin, Minimal Positive Harmonic Functions, Trans. Amer. Math. Soc., 49, 1941, 137-172. | JFM 67.0343.03 | MR 2,292h | Zbl 0025.33302

[20] Myskis, On the concept of a boundary. Mat. Sbornik N. S. 25 (67) 387-414 (1949), Amer, Math. Soc. Translations series 1, vol. 8 p. 11. | Zbl 0039.18802

[21] L. Naïm, Sur le rôle de la frontière de R. S. Martin dans la théorie du potentiel, Annales Inst. Fourier, t. 7, 1957, 183-285. | Numdam | MR 20 #6608 | Zbl 0086.30603