Soient un domaine borné de et l’adhérence de dans l’espace des fonctions qui ainsi que leurs dérivées partielles premières. On démontre d’abord le principe du maximum suivant : une sous-solution locale dans , majorée p.p. au voisinage de par une fonction est p.p. dans .
Puis on vérifie que les solutions locales de forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant aux axiomes de M. Brelot, ce qui permet de parler du problème de Dirichlet dans un ouvert quelconque. On utilise alors le principe du maximum ci-dessus pour montrer que, si la donnée est la trace sur d’une fonction continue sur et , alors la solution du problème de Dirichlet dans est la solution de dans telle que .
@article{AIF_1964__14_2_493_0, author = {Herv\'e, Rose-Marie}, title = {Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d{\textquoteright}une \'equation uniform\'ement elliptique de la forme $Lu=-\sum _i{\partial \over \partial x_i}(\sum _j a_{ij}{\partial u\over \partial x_j})=0$}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {493--507}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {14}, number = {2}, year = {1964}, doi = {10.5802/aif.185}, mrnumber = {30 #5040}, zbl = {0129.07202}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.185/} }
TY - JOUR AU - Hervé, Rose-Marie TI - Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme $Lu=-\sum _i{\partial \over \partial x_i}(\sum _j a_{ij}{\partial u\over \partial x_j})=0$ JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1964 SP - 493 EP - 507 VL - 14 IS - 2 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.185/ DO - 10.5802/aif.185 LA - fr ID - AIF_1964__14_2_493_0 ER -
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Hervé, Rose-Marie. Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme $Lu=-\sum _i{\partial \over \partial x_i}(\sum _j a_{ij}{\partial u\over \partial x_j})=0$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 14 (1964) no. 2, pp. 493-507. doi : 10.5802/aif.185. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.185/
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