Axiomatic theory of harmonic functions. Balayage
Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) no. 2, pp. 37-70.

Dans une axiomatique des fonctions harmoniques un peu plus générale que celle de H. Bauer, on démontre les relations suivantes :

R s + t A = R s A + R t A ,
R s A ∪ B + R s A ∩ B ≤ R s A + R s B ,
A n ↑ A , S n ↑ s ⇒ R s n A n ↑ R s A ,

où A, B, A n , (resp. s, t, s n ) sont des ensembles (resp. fonctions hyperharmoniques non-négatives) arbitraires. Les mêmes relations sont valables pour R ^. On démontre aussi que la relation

∫ * s d μ A = ∫ * R ^ s A d μ

a lieu si l’espace de base a une base dénombrable ou si l’axiome D de M. Brelot est satisfait, A étant contenu dans un ensemble σ-compact.

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[1] H. Bauer, Axiomatische Behandlung des Dirichletschen Problems für elliptische und parabolische Differentialgleichungen, Math. Ann., 146 (1962), 1-59. | Zbl

[2] N. Boboc, C. Constantinescu and A. Cornea, Axiomatic theory of harmonic functions. Non-negative superharmonic functions, Ann. Inst. Fourier, 15, 1 (1965), 283-312. | Numdam | Zbl

[3] M. Brelot, Lectures on potential theory, Tata Institute of Fund. Reasearch, Bombay (1960). | Zbl

[4] R. M. Hervé, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 12 (1962), 415-571. | Numdam | Zbl

Cité par Sources :