Problèmes relatifs à l'itération de fonctions suggérés par les processus en cascade

Dubuc, Serge

Dubuc, Serge

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 1, p. 171-251

Résumé
Abstract

Dans la première partie du travail, l’auteur étudie les fonctions harmoniques associées à un processus en cascade sans disparition d’individus. Il achève la caractérisation des fonctions harmoniques positives extrémales, entreprise dans deux articles précédents et il détermine le comportement asymptotique de celles-ci. Un certain nombre d’exemples de fonctions harmoniques sont décrits. La deuxième partie du travail porte sur les fonctions harmoniques positives qui sont des fonctionnelles linéaires sur l’espace

C^{k} [0, 1]

, les génératrices extrémales de ce cône sont précisées. La troisième partie introduit l’équation fonctionnelle de Schröder ou son équivalent, l’équation d’Abel. L’auteur fait une analyse fine de cette équation. Dans la dernière partie, sous la seule hypothèse que le processus a une moyenne finie plus grande que un, il est vérifié que l’on peut trouver une suite

M_{n}

telle que la croissance de la population normalisée par

M_{n} : \frac{Z_{n}}{M_{n}}

tend en distribution vers une variable aléatoire absolument continue. Le tout se termine par une étude sommaire des processus en cascade qui peuvent être plongés dans le temps continu.

The author begins by studying harmonic (regular) functions of a branching process. He characterizes extreme positive harmonic functions and describes their asymptotic behaviour. Various examples of harmonic functions are given. The second part of the study is about harmonic functions which are linear functional on

C^{k} [0, 1]

, extreme rays of this cone are found. In the third part, a fine analysis of Schröder’s (or Abel’s) functional equation is done. The last section gives the proof that for a given supercritical branching process, there is a sequence of numbers

M_{n}

such that the growth of the normalized population

\frac{Z_{n}}{M_{n}}

converges in distribution to an absolutely continuous time branching processes.

MR 45 #6083 | Zbl 0196.12801 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.365

@article{AIF_1971__21_1_171_0,
     author = {Dubuc, Serge},
     title = {Probl\`emes relatifs \`a l'it\'eration de fonctions sugg\'er\'es par les processus en cascade},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
     address = {Gap},
     volume = {21},
     number = {1},
     year = {1971},
     pages = {171-251},
     doi = {10.5802/aif.365},
     zbl = {0196.12801},
     mrnumber = {45 \#6083},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1971__21_1_171_0}
}

Dubuc, Serge. Problèmes relatifs à l'itération de fonctions suggérés par les processus en cascade. Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 1, pp. 171-251. doi : 10.5802/aif.365. http://www.numdam.org/item/AIF_1971__21_1_171_0/

Bibliographie

[1] J.N. Baker, Zusammensetzungen ganzer Functionen Math.Zeitschr. Bd 69, (1958), 121-163. | Zbl 0178.07502

[2] H. Bauer, Silovscher Rand und Dirichletsches Problem, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 11, (1961), 89-136. | Numdam | MR 25 #443 | Zbl 0098.06902

[3] L. Berg, Unstetige, monotone Iterations gruppen reeler Functionen, Pub. Math. Debrecen 9, (1962), 47-56. | MR 25 #4051 | Zbl 0129.09307

[4] N. Bourbaki, Integration Livre VI, Hermann, Paris.

[5] G. Choquet et P.A. Meyer, Existence et unicité des représentations intégrales dans les convexes compacts quelconques. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) (1963), 139-154. | Numdam | MR 149258 | MR 26 #6748 | Zbl 0122.34602

[6] J. Deny, Familles fondamentales. Noyaux associés. Ann. Inst. Fourier, Grenoble 3, (1951), 73-101. | Numdam | MR 67262 | MR 16,698a | Zbl 0047.34404

[7] S. Dubuc, Positive Harmonic Functions of a Branching Process, Proc. Amer. Math. Soc. 21, (1969), 324-326. | MR 251800 | MR 40 #5027 | Zbl 0176.47601

[8] S. Dubuc, La fonction de Green d'un processus de Galton-Watson, Studia Math. vol. 34, N° 1, (1969). | MR 260042 | Zbl 0196.18802

[9] M.P. Fatou, Sur l'itération analytique et les substitutions permutables, J. Math. pures et appl. 9ème série, t. 2, (1923), 343-384, et t. 3, (1924), 1-49. | JFM 50.0690.01

[10] W. Feller, An introduction to Probability Theory and its Applications, vol. II, John Wiley and Sons, New York. | MR 88081 | Zbl 0138.10207

[11] J. Hadamard, Two works on iteration and related questions, Bull. Amer. Math. Soc. 50, (1944), 67-75. | MR 9691 | MR 5,185e | Zbl 0061.26503

[12] T.E. Harris, The theory of Branching Process, Springer-Verlag (1963). | MR 163361 | MR 29 #664 | Zbl 0117.13002

[13] G. Julia, Mémoire sur la permutabilité des fonctions rationnelles, Ann. Sc. de l'Ecole Norm. Sup. (3) 39 (1922), 131-215. | JFM 48.0364.02 | Numdam | MR 1509242

[14] H. Kesten et B.P. Stigum, A limit theorem for multidimensional Galton-Watson processus. Ann. Math. Stat. 37 (1966) 1211-1223. | MR 198552 | MR 33 #6707 | Zbl 0203.17401

[15] H. Kneser, Reelle analytische Gösungen der Gleichung ϕ(ϕ(x)) = ex und verwandte Funktionalgleichungen, J. Reine angew. Math. 187 (1950) 56-67. | MR 35385 | MR 11,726e | Zbl 0035.04801

[16] M.G. Koenigs, Recherches sur les équations fonctionnelles, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. (1884). | JFM 17.0370.02 | MR 1508770

[17] M. Kuczma, On the Schröder equation Rozprawy Matematyczne XXXIV, (1963), 1-50. | MR 173875 | Zbl 0121.33703

[18] M. Kuczma, Functional equations in a single variable, Ars. Polona, Varsovie. | MR 228862 | Zbl 0196.16403

[19] N. Levinson, Limiting theorems for Galton-Watson Branching Process, Illinois J. Math. 3, (1959), 554-565. | MR 107915 | MR 21 #6637 | Zbl 0229.60057

[20] P. Levy, Fonctions à croissance régulière et itération d'ordre fonctionnaire, Ann. Mat. Pura App. (4) 5 (1928), 269-298. | JFM 54.0375.04

[21] A. Lundberg, On iterated functions with asymptotic conditions at a fixpoint, Arkiv. för Mat. Bd 5, (1965), 193-206. | MR 29 #2556 | Zbl 0196.45501

[22] P.A. Meyer, Probabilités et Potentiel, Hermann, Paris. | Zbl 0138.10402

[23] H. Michel, Untersuchungen über stetige, monotone Iterations-gruppen reeller Functionen ohne Differenzierbarkeit voraussetzungen, Pub. Math. Debrecen 9, (1962), 13-46. | Zbl 0148.13702

[24] P. Montel, Leçons sur les récurrences et leurs applications, Gauthier-Villars, Paris (1957). | MR 19,427a | Zbl 0077.06601

[25] R.R. Phelps, Lectures on Choquet's theorem, Van Nostrand, Princeton. | MR 193470 | Zbl 0135.36203 | Zbl 01601012

[26] E. Picard, Leçons sur quelques équations fonctionnelles, Gauthier-Villars, Paris (1950). | Zbl 0035.06802

[27] J.G. Ritt, On the iteration of rational functions, Trans. Amer. Math. Soc. 21, (1920), 348-356. | JFM 47.0312.01 | MR 1501149

[28] F. Spitzer, Principles of Random Walk, Van Nostrand, Princeton. | MR 171290 | Zbl 0119.34304

[29] B.P. Stigum, A theorem in the Galton-Watson Process, Ann. Math. Stat. 37, (1966), 695-698. | MR 196810 | MR 33 #4996 | Zbl 0154.43002

[30] G. Szekeres, Regular Iteration of Real and Complex Functions, Acta Math. 100 (1958), 203-258. | MR 107016 | MR 21 #5744 | Zbl 0145.07903

[31] A.G. Walker, Commutative functions I, Quart J. Math. (Oxford) 17, (1945), 66-82. | MR 16453 | Zbl 0063.08137