Multiplicative functionals of dual processes

Getoor, Ronald K.

doi:10.5802/aif.373

Getoor, Ronald K.

Annales de l'Institut Fourier, Volume 21 (1971) no. 2, p. 43-83

Abstract
Résumé

Let $X$ and $\hat{X}$ be a pair of dual standard Markov processes. We associate to each exact multiplicative function $(M F)$ , $M$ of $X$ a unique exact $M F$ , $\hat{M}$ of $\hat{X}$ in a natural manner. Any $M F$ , $M$ is assumed to satisfy $0 \leq M_{t} \leq 1$ . The map $M \to \hat{M}$ is bijective and multiplicative in the sense that: $(M N)^{\land} = \hat{M} \hat{N}$ .

This correspondence is studied in some detail and several important examples are discussed.

These results are then applied to study additive functionals.

Soient $X$ et $\hat{X}$ une paire de processus standard duaux de Markov. Nous associons à tout $M$ de $X$ (et $\hat{M}$ de $\hat{X}$ ) une fonction multiplicative exacte $M F$ de façon naturelle. Pour tout $M F$ , $M$ est supposé satisfaire $0 \leq M_{t} \leq 1$ . L’application $M \to \hat{M}$ est bijective et multiplicative au sens suivant : $(M N)^{\land} = \hat{M} \hat{N}$ . Cette correspondance est étudiée en détail et différents exemples importants sont discutés. Ces résultats sont ensuite appliqués à l’étude de fonctionnelles additives.

MR 48 #9861 | Zbl 0209.19506 | 1 citation in Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.373

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Getoor, Ronald K. Multiplicative functionals of dual processes. Annales de l'Institut Fourier, Volume 21 (1971) no. 2, pp. 43-83. doi : 10.5802/aif.373. http://www.numdam.org/item/AIF_1971__21_2_43_0/

References

[1] R. M. Blumenthal and R. K. Getoor, Markov Processes and Potential Theory, Academic Press, New York and London, (1968). | MR 41 #9348 | Zbl 0169.49204

[2] R. M. Blumenthal and R. K. Getoor, Additive functionals of Markov processes in duality, Trans. Amer. Math. Soc. 112, 131-163 (1964). | MR 28 #3483 | Zbl 0133.40904

[3] R. K. Getoor, Duality of multiplicative functionals, Bull. Amer. Math. Soc. 76, 1053-1056 (1970). | Zbl 0234.60088

[4] G. A. Hunt, Markoff processes and potentials III, III, Ill. J. Math. 2, 151-213 (1958). | MR 21 #5824 | Zbl 0100.13804

[5] P. A. Meyer, Probability and Potentials, Ginn (Blaisdell). Boston. 1966. | MR 34 #5119 | Zbl 0138.10401

[6] P. A. Meyer, Semi-groupes en dualité, Séminaire de théorie du potentiel (Sem. Brelot, Choquet, Deny). Paris, 5th year. 1960/1961. | Numdam

[7] P. A. Meyer, Quelques résultats sur les processus, Invent. Math. 1, 101-115 (1966). | MR 34 #862 | Zbl 0178.53403

[8] P. A. Meyer, Intégrales stochastiques IV, Séminaire de Probabilités I, Lecture Notes in Math. 39. Springer-Verlag. 1967. | Numdam | MR 37 #7000 | Zbl 0157.25001

[9] D. Revuz, Mesures associées aux fonctionnelles additives de Markov, Trans. Amer. Math. Soc. 148, 501-531 (1970). | MR 43 #5611 | Zbl 0266.60053

[10] M. Weil, Propriétés de continuité fine des fonctions coexcessives. Zeit. f. Wahrscheinlichkeitstheorie, 12, 75-86 (1969). | MR 41 #1122 | Zbl 0165.52502