Résolution d'équations aux dérivées partielles dans des espaces de distributions d'ordre de régularité variable

Unterberger, André

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 2, pp. 85-128.

L’objet de cet article est de prouver des théorèmes du genre suivant : “Soient $P$ un opérateur différentiel sur ${\mathbf{R}}^n$, $\rho$ une fonction $C^{\infty }$ à valeurs réelles, $k$ un nombre réel et $u$ une distribution à support compact : alors, si $Pu\in H^{\rho }$, $u\in H^{\rho +k}$” ; l’espace $H^{\rho }$ est ici l’espace de Sobolev “d’ordre variable” associé à $\rho$ ; bien entendu, il faut des hypothèses sur $P$, $\rho$ et $k$. Les cas traités sont :

1) certains opérateurs à coefficients variables déjà considérés dans le chapitre VIII du livre de L. Hörmander ;

2) tous les opérateurs à coefficients constants en deux variables, avec des fonctions $\rho$ convexes sur les droites caractéristique de $P$ ;

3) les opérateurs à coefficients constants sur $R^n$ pour lesquels existent des inégalités $L^2$ “à la F. Trèves”. On déduit de ces théorèmes des résultats de résolubilité dans $D^{\prime }$, nouveaux dans certains cas.

The aim of this paper is to prove theorems of the following kind: “Let $P$ be a differential operator on ${\mathbf{R}}^n$, $\rho$ a $C^{\infty }$ real valued function, $k$ a real number, and $u$ a distribution with compact support: then, if $Pu\in H^{\rho }$, $u\in H^{\rho +k}$”; the space $H^{\rho }$ is the Sobolev space “of variable order” associated with $\rho$; of course, some hypotheses about $P$, $\rho$ and $k$ are needed. The following cases are discussed:

1) some operators with variable coefficients already considered in Chapter VIII of L. Hörmander’s book;

2) the operators with constant coefficients in 2 variables, $\rho$ being convex on the characteristic lines of $P$;

3) the operators with constant coefficients of which F. Trèves $L^2$ inequalities are valid. Results on solvability in the space of all distributions, new in some cases, follow from these theorems.

[1] J. Bokobza et A. Unterberger, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, t. 260, 1965, p. 3265-3267, et t. 261, 1965, p. 2271-2273. | Zbl

[2] L. Hormander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1964.

[3] L. Hormander, On the Singularities of solutions of partial differential equations, Comm. on Pure and Appl. Math., XXIII, 329-358 (1970). | MR | Zbl

[4] F. John, Plane Waves and Spherical Means applied to Partial. Differential Equations, Interscience Tracts, New York, 1955. | MR | Zbl

[5] B. Malgrange, Sur la propagation de la régularité des solutions des équations à coefficients constants, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. R.P. Roumanie 3 (53), 433-440 (1959). | MR | Zbl

[6] F. Treves, Linear Partial Differential Equations with constant coefficients, Gordon & Breach, New York, 1966. | MR | Zbl

[7] F. Treves, Cours sur les Équations aux Dérivées Partielles Linéaires, École Normale Supérieure, Paris, 1967.

[8] F. Treves, Linear partial differential equations, Gordon and Breach, New York, 1970. | MR | Zbl