On $B_r$-completeness

Valdivia, Manuel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 2, pp. 235-248.

Dans le présent article il est démontré que si $\{E_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ et $\{F_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ sont deux suites d’espaces de Banach de dimension infinie, alors $H=\left({\oplus }_{n=1}^{\infty }{E}_n\right)\times {\prod }_{n=1}^{\infty }{F}_n$ n’est pas $B_r$-complet. Il est démontré aussi que si $\{E_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ et $\{F_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ sont de plus des espaces réflexifs il y a sur $H$ une topologie localement convexe et séparée $ℱ$ moins fine que l’initiale, telle que $H\left[ℱ\right]$ est un espace tonnelé et bornologique, qui n’est pas limite inductive d’espaces de Baire. On donne aussi d’autres résultats sur la $B_r$-complétude et les espaces bornologiques.

In this paper it is proved that if $\{E_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ and $\{F_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ are two sequences of infinite-dimensional Banach spaces then $H=\left({\oplus }_{n=1}^{\infty }{E}_n\right)\times {\prod }_{n=1}^{\infty }{F}_n$ is not $B_r$-complete. If $\{E_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ and $\{F_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ are also reflexive spaces there is on $H$ a separated locally convex topology $ℱ$, coarser than the initial one, such that $H\left[ℱ\right]$ is a bornological barrelled space which is not an inductive limit of Baire spaces. It is given also another results on $B_r$-completeness and bornological spaces.

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