Solutions d'un système d'équations analytiques réelles et applications

Tougeron, Jean-Claude

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 3, pp. 109-135.

On démontre que toute solution formelle $\overline{y}\left(x\right)$ d’un système d’équations analytiques réelles (resp. polynomiales réelles) $f(x,y)=0$, se relève en une solution ${\mathbf{C}}^{\infty }$ homotope à une solution analytique (resp. à une solution de Nash) aussi proche que l’on veut de $\overline{y}\left(x\right)$ pour la topologie de Krull. On utilise ce théorème pour démontrer l’algébricité (ou l’analyticité) de certains idéaux de $\mathbf{R}\left\{x\right\}$ (ou $\mathbf{R}\left[\right[x\left]\right]$), et aussi pour construire des déformations analytiques de germes d’ensembles analytiques en germes d’ensembles de Nash.

It is proved, that any formal solution $\overline{y}\left(x\right)$ of a system of real analytic (resp. real polynomial) equations $f(x,y)=0$, can be lifted into a ${\mathbf{C}}^{\infty }$-solution, homotopic to an analytic solution (resp. to a Nash solution), which can be chosen arbitrarily closed to $\overline{y}\left(x\right)$ for the Krull topology. This theorem is then used to prove the algebraicity (the analyticity) of some ideals in $\mathbf{R}\left\{x\right\}$ $\mathbf{R}\left[\right[x\left]\right]$), and also to construct analytical deformations of germs of analytical sets into germs of Nash sets.

[1] M. Artin, On the solutions of analytic equations, Invent. Math., 5 (1968), 277-291. | EuDML | MR | Zbl

[2] J.C. Tougeron, Idéaux de fonctions différentiables, Ann. Inst. Fourier, 18 (1968), 177-240. | Numdam | MR | Zbl

[3] J.C. Tougeron, Idéaux de fonctions différentiables, Ergebnisse Der Mathematik, Band 71 (1972). | MR | Zbl

[4] H. Whitney, Local properties of analytic varieties, Notes de Princeton. | MR | Zbl

[5] H. Hironaka, Analytic equivalence of singularities, Notes de l'Université de Göttingen (1965).

[6] J.C. Tougeron, G-stabilité des germes d'applications différentiables, Séminaire d'Analyse de Rennes (1971).

[7] J.P. Serre, Algèbre locale, multiplicité, Lecture notes in Mathematics, 11 (1965). | MR | Zbl

[8] M. Artin, Algebraïc approximations of structures over complete local rings, Pub. IHES No 36 (1969). | EuDML | Numdam | MR | Zbl