Soit un espace localement compact. Tout opérateur dissipatif de domaine dense dans est limite d’opérateurs dissipatifs bornés. Ce résultat permet, dans le cas où est un espace homogène, de démontrer que tout opérateur dissipatif, de domaine dense et invariant sur se prolonge en le générateur infinitésimal d’un semi-groupe à contraction invariant sur .
À tout opérateur vérifiant le principe du maximum positif sur et de domaine assez riche, on associe un opérateur bilinéaire , appelé opérateur carré du champ, défini par
vérifie la propriété remarquable suivante : pour toute mesure positive bornée sur est une forme de Dirichlet définie sur .
Si est le générateur local d’un semi-groupe de Feller sur , on définit, pour des ouverts de suffisamment réguliers, la restriction de à . Cette restriction est le générateur d’un semi-groupe de Feller sur .
Let be a locally compact space. Any dissipative operator densely defined in is a limit of bounded dissipative operators. When is an homogeneous space then this result allows us to prove that any invariant dissipative and densely defined operator on extends itself into the infinitesimal generator of an invariant semigroup in .
To every operator which satisfies to the positive maximum principle in and so that is rich enough, is associated a bilinear operator called “opérateur carré du champ" which is defined as follows:
satisfies to the remarkable property that for any positive bounded measure on is a Dirichlet form on .
If is the local generator of a Feller’s semigroup in , the restriction of to is defined for any sufficiently regular open set . This restriction is the generator of a Feller’s semigroup in .
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Roth, Jean-Pierre. Opérateurs dissipatifs et semi-groupes dans les espaces de fonctions continues. Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 4, pp. 1-97. doi : 10.5802/aif.632. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.632/
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