Groupe de Picard des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur 2 ()
Annales de l'Institut Fourier, Volume 38 (1988) no. 3, p. 105-168

The subject of this paper is the Picard group of the moduli variety M(r,c 1 ,c 2 ) of semi-stable algebraic sheaves on P 2 (C), of rankr and Chern classes c 1 ,c 2 . The first result is that if M(r,c 1 ,c 2 ) is locally factorial, so Pic(M(r,c 1 ,c 2 )) is isomorphic to the group of linear equivalence classes of Weil divisors of M(r,c 1 ,c 2 ). There is a unique map δ:QQ such that dim(M(r,c 1 ,c 2 ))>0 if and only if (c 2 -(r-1)c 1 2 /2r)/rδ(c 1 /r). Then if one has equality, Pic (M(r,c 1 ,c 2 )) is isomorphic to Z, and if the inequality is strict, Pic(M(r,c 1 ,c 2 )) is isomorphic to Z 2 . A description of Pic (M(r,c 1 ,c 2 )) is given, using a subgroup of the Grothendieck group K(P 2 ) of P 2 . It is then possible to compute the canonical bundle ω M of M(r,c 1 ,c 2 ).

Le sujet de cet article est le groupe de Picard de la variété de modules M(r,c 1 ,c 2 ) des faisceaux algébriques semi-stables de rang r et de classes de Chern c 1 ,c 2 sur P 2 (C). Le premier résultat est que M(r,c 1 ,c 2 ) est localement factorielle, ce qui permet d’identifier Pic(M(r,c 1 ,c 2 )) et le groupe des classes d’équivalence linéaire des diviseurs de Weil de M(r,c 1 ,c 2 )). Il existe une unique application δ:QQ telle que dim(M(r,c 1 ,c 2 ))>0 si et seulement si (c 2 -(r-1)c 1 2 /2r)/r>δ(c 1 /r). Si on a égalité, Pic(M(r,c 1 ,c 2 )) est isomorphe à Z, et si l’inégalité est stricte, Pic(M(r,c 1 ,c 2 )) est isomorphe à Z 2 . On donne ensuite une description de Pic(M(r,c 1 ,c 2 )) faisant intervenir un sous-groupe du groupe de Grothendieck K(P 2 ) de P 2 . On peut enfin calculer le fibré canonique ω M de M(c 1 ,c 2 ).

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Drezet, Jean-Marc. Groupe de Picard des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur ${\mathbb {P}}_2({\mathbb {C}})$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 38 (1988) no. 3, pp. 105-168. doi : 10.5802/aif.1143. http://www.numdam.org/item/AIF_1988__38_3_105_0/

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