Rationalité et valeurs de fonctions $L$ en cohomologie cristalline

Étesse, Jean-Yves

Annales de l'Institut Fourier, Tome 38 (1988) no. 4, pp. 33-92.

Dans l’exposé Bourbaki 409, Katz conjecture la méromorphie $p$-adique de la fonction $L(X,E,t)$ attachée à une variété $X$ lisse sur un corps fini ${\mathbf{F}}_q$ ($q=p^a$) et à un $F$-cristal $E$ sur $X$. Si $X$ est propre et lisse sur ${\mathbf{F}}_q$ nous prouvons que $L$ est rationnelle et fournie par l’expression habituelle utilisant l’action du Frobenius sur la cohomologie cristalline à coefficients dans $E$; ce résultat n’était connu, via les “conjectures de Weil”, que pour des $F$-cristaux unités particuliers: ceux provenant d’une représentation de ${\pi }_1\left(X\right)$ factorisable par un quotient fini. Ce théorème nécessite le développement d’un formalisme de classe de cohomologie associée à un morphisme de cristaux, généralisant la classe fondamentale d’un cycle algébrique, et amenant à une formule des traces de Lefschetz.

Lorsque $E$ est un $F$-cristal unité le lien entre cohomologie cristalline et complexe de De Rham-Witt à coefficients dans $E$ permet alors d’interpréter les zéros et pôles de $L$ de la forme $t=q^{-r}$, $r$ entier. Sous certaines hypothèses ce complexe fournit également des équivalents de $L$ au voisinage des pôles précédents : ces résultats généralisent ceux de Milne pour les fonctions zêta.

In his Bourbaki talk 409, Katz conjectured the $p$-adic meromorphy of the function $L(X,E,t)$ attached to a smooth variety $X$ over a finite field ${\mathbf{F}}_q(q=p^a)$ and to an $F$-crystal $E$ on $X$. If $X$ is proper and smooth over ${\mathbf{F}}_q$ we prove that $L$ is rational and given by the usual formula using the action of Frobenius on crystalline cohomology with coefficients in $E$; this result was only known, via “Weil conjectures”, for particular unit-root $F$-crystals: those issued of a representation of ${\pi }_1\left(X\right)$ through a finite quotient. The proof of the theorem involves the formalism of a cohomology class associated to a morphism of crystals, extending the fundamental class of an algebraic cycle, and leading to a Lefschetz trace formula. When $E$ is a unit-root $F$-crystal the link between crystalline cohomology and De Rham-Witt complex with coefficients in $E$ enables us to interpret zeroes and poles of $L$ of the form $t=q^{-r}$, $r$ an integer. Under certain hypotheses this complex yields also equivalents of the $L$ function in the neighbourhood of the preceding poles: these results extend those of Milne for zeta functions.

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