Stochastic calculus and degenerate boundary value problems

Cattiaux, Patrick

Annales de l'Institut Fourier, Tome 42 (1992) no. 3, pp. 541-624.

On considère le problème aux limites (L.P):$(h-A)u=f$ dans $D$, $(v-\Gamma )u=g$ sur $\partial D$ où $A$ s’écrit $A=1/2{\sum }_{i=1}^m{Y}_i^2+Y_0$, et où $\Gamma$ est une condition de Ventcel générale (incluant le problème à dérivée oblique). Nous montrons existence, unicité et régularité de la solution de (L.P) sous la condition de Hörmander portant sur les crochets de Lie des champs de vecteurs $Y_i$ ($0\le i\le m$), pour des ouverts $D$ réguliers à frontière non caractéristique.

Notre étude repose sur la représentation stochastique de $u$ et utilise le calcul des variations stochastique sur la $(A,\Gamma )$-diffusion dans $\overline{D}$. Des applications à la décomposition de $C^{\infty }(\overline{D})$ ainsi qu’à l’étude des mesures invariantes sont également données.

Consider the boundary value problem (L.P):$(h-A)u=f$ in $D$, $(v-\Gamma )u=g$ on $\partial D$ where $A$ is written as $A=1/2{\sum }_{i=1}^m{Y}_i^2+Y_0$, and $\Gamma$ is a general Venttsel’s condition (including the oblique derivative condition). We prove existence, uniqueness and smoothness of the solution of (L.P) under the Hörmander’s condition on the Lie brackets of the vector fields $Y_i$ ($0\le i\le m$), for regular open sets $D$ with a non-characteristic boundary.

Our study lies on the stochastic representation of $u$ and uses the stochastic calculus of variations for the $(A,\Gamma )$-diffusion process in $\overline{D}$. Applications to the decomposition of $C^{\infty }(\overline{D})$, and to invariant measures are also discussed.

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