We give a -analogous version of the Gevrey asymptotics and of the Borel summability respectively due to G. Watson and E. Borel and developed during the last fifteen years by J.-P. Ramis, Y. Sibuya, ... The goal of these authors was the study of ordinary differential equations in the complex plane. In the same manner, our goal is the study of -difference equations in the complex plane along the way indicated by G.D. Birkhoff and W.J. Trjitzinsky.
More precisely, we introduce a new notion of asymptoticity which we call -Gevrey asymptotic expansions of order 1. This notion is well adapted to the class of -Gevrey power series of order 1 studied by J.-P. Bézivin, J.-P. Ramis and others. Next, we define the class of -summable power series of order 1 and give a characterization in terms of -Borel-Laplace transforms. We show that every power series satisfying a linear analytic -difference equation is -summable of order 1 when the associated Newton polygon has a unique slope equal to 1. We shall study a generalization of this work when the Newton polygon is arbitrary in a later paper.
Nous donnons une version -analogue de l’asymptotique Gevrey et de la sommabilité de Borel, dues respectivement à G. Watson et E. Borel et systématiquement développées depuis une quinzaine d’années par J.-P. Ramis, Y. Sibuya, etc. Le but de ces auteurs était l’étude des équations différentielles dans le champ complexe. De même notre but est l’étude des équations aux -différences dans le champ complexe, dans la ligne de G.D. Birkhoff et W.J. Trjitzinsky.
Plus précisément, nous introduisons une nouvelle notion d’asymptoticité que nous appelons développements asymptotiques -Gevrey d’ordre 1. Elle est adaptée à la classe des séries entières -Gevrey d’ordre 1 étudiée par J.-P. Bézivin, J.-P. Ramis, etc. Nous définissons ensuite la classe des séries entières -sommables d’ordre 1 et nous en donnons une caractérisation en termes de transformations de Borel et de Laplace -analogues. Nous montrons que toute série entière solution formelle d’une équation aux -différences linéaire à coefficients analytiques est -sommable d’ordre 1 lorsque le polygone de Newton de l’équation possède une seule pente égale à 1. Une généralisation de ce travail quand le polygone de Newton est arbitraire fera l’objet d’un article ultérieur.
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Zhang, Changgui. Développements asymptotiques $q$-Gevrey et séries $Gq$-sommables. Annales de l'Institut Fourier, Volume 49 (1999) no. 1, pp. 227-261. doi : 10.5802/aif.1672. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1672/
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