Existence et équidistribution des matrices de dénominateur $n$ dans les groupes unitaires et orthogonaux

Guilloux, Antonin

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 4, pp. 1185-1212.

Soit $\mathbf{G}$ un groupe défini sur les rationnels, simplement connexe, $\mathbb{Q}$-quasisimple et compact sur $ℝ$. On étudie des suites de sous-ensembles des points rationnels de $\mathbf{G}$ définis par des conditions sur leur projection dans le groupe des adèles finies de $\mathbf{G}$. Nous montrons dans ce cadre un résultat d’équirépartition vers la probabilité de Haar sur le groupe des points réels. On utilise pour cela des propriétés de mélange de l’action du groupe des points adéliques $\mathbf{G}\left(𝔸\right)$ sur l’espace $L^2(\mathbf{G}\left(𝔸\right)/\mathbf{G}\left(\mathbb{Q}\right))$. Pour illustrer ce résultat, nous étudions ses conséquences dans le cas d’un groupe spécial unitaire. Plus précisément nous étudions l’existence et la répartition des matrices spéciales unitaires rationnelles de dénominateur fixé. Nous sommes en mesure de prouver un principe de Hasse (passage du local au global) pour ce problème ainsi que l’équirépartition de ces ensembles dès qu’ils ne sont pas vides. On se penche ensuite sur le cas des groupes orthogonaux.

Let $\mathbf{G}$ be a simply-connected $\mathbb{Q}$-quasisimple and $ℝ$-anisotropic algebraic $\mathbb{Q}$-group. Let ${𝔸}^f$ be the finite part of the adèles $𝔸$ of $\mathbb{Q}$. Let $\left(H_n\right)$ be a sequence of bounded subsets of $\mathbf{G}\left({𝔸}^f\right)$ which are bi-invariant by a compact open subgroup of $\mathbf{G}\left({𝔸}^f\right)$. Let ${\Gamma }_n$ be the projection in $\mathbf{G}\left(ℝ\right)$ of the sets $\mathbf{G}\left(\mathbb{Q}\right)\cap (\mathbf{G}\left(ℝ\right)\times H_n)$. Suppose that the volume of the compact subsets $\mathbf{G}\left(ℝ\right)\times H_n$ tends to $\infty$ with $n$. We prove the equidistribution in $\mathbf{G}\left(ℝ\right)$ of the ${\Gamma }_n$ with respect to the Haar probability on $\mathbf{G}\left(ℝ\right)$. The strategy is to use a mixing result for the action of G$\left(𝔸\right)$ on the space $L^2(\mathbf{G}\left(𝔸\right)/\mathbf{G}\left(\mathbb{Q}\right))$. As an application, we study the existence and the repartition of rational unitary matrices having a given denominator. We prove a local-global principle for this problem and the equirepartition of the sets of denominator $n$-matrices when they are not empty. We then study the more complicated case of non simply-connected groups applying it to quadratic forms.

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