On $q$-summation and confluence

Di Vizio, Lucia; Zhang, Changgui

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 1, pp. 347-392.

Cet article est divisé en deux parties. Dans la première partie, nous étudions un $q$-analogue convergent de la série d’Euler, pour $q\in ]0,1[$, et nous prouvons que la somme de Borel d’une série Gevrey générique, solution d’une équation différentielle, peut être approchée uniformément, sur un secteur convenable, par la solution méromorphe d’une équation aux $q$-différences associée. Dans la deuxième partie, nous travaillons sous l’hypothèse $q\in ]1,+\infty [$. Dans ce cas, au moins quatre notions différentes de $q$-sommations ont été introduites dans la littérature : nous clarifions, sous des hypothèses raisonnables, les relations entre ces notions.

This paper is divided in two parts. In the first part we study a convergent $q$-analog of the divergent Euler series, with $q\in (0,1)$, and we show how the Borel sum of a generic Gevrey formal solution to a differential equation can be uniformly approximated on a convenient sector by a meromorphic solution of a corresponding $q$-difference equation. In the second part, we work under the assumption $q\in (1,+\infty )$. In this case, at least four different $q$-Borel sums of a divergent power series solution of an irregular singular analytic $q$-difference equations are spread in the literature: under convenient assumptions we clarify the relations among them.

Classification : 34M30, 39A13, 33D05
Keywords: Summation, confluence, $q$-difference equations, Euler series
Mot clés : sommation, confluence, équations aux $q$-différences, série d’Euler

[1] Andrew, G. E.; Askey, R.; Roy, R. Special functions, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 71, Cambridge University Press, Cambridge, 1999 | MR | Zbl

[2] André, Y. Séries Gevrey de type arithmétique. I. Théorèmes de pureté et de dualité, Ann. of Math., Volume 151 (2000) no. 2, pp. 705-740 | DOI | EuDML | MR | Zbl

[3] Barnes, E. W. A new development of the theory of the hypergeometric functions, Proceedings of the London Mathematical Society, Volume 6 (1908) no. 2, pp. 141-177 | DOI | JFM

[4] Bézivin, J.-P. Sur les équations fonctionnelles aux $q$-différences, Aequationes Mathematicae, Volume 43 (1992) no. 2-3, pp. 159-176 | DOI | EuDML | MR | Zbl

[5] De Sole, A.; Kac, V. G. On integral representations of $q$-gamma and $q$-beta functions, Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Serie IX. Matematica e Applicazioni, Volume 16 (2005) no. 1, pp. 11-29 | EuDML | MR | Zbl

[6] Di Vizio, L. Arithmetic theory of $q$-difference equations. The $q$-analogue of Grothendieck-Katz’s conjecture on $p$-curvatures, Inventiones Mathematicae, Volume 150 (2002) no. 3, pp. 517-578 | DOI | MR | Zbl

[7] Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, F. G. Higher transcendental functions, I, Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., Melbourne, Fla., 1981 (Based on notes left by Harry Bateman) | Zbl

[8] Gasper, G.; Rahman, M. Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 35, Cambridge University Press, Cambridge, 1990 (With a foreword by Richard Askey) | MR | Zbl

[9] Loday-Richaud, M. Introduction à la multisommabilité, Gazette des Mathématiciens (1990) no. 44, pp. 41-63 | MR | Zbl

[10] Loday-Richaud, M. Solutions formelles des systèmes différentiels linéaires méromorphes et sommation, Expositiones Mathematicae. International Journal, Volume 13 (1995) no. 2-3, pp. 116-162 | MR | Zbl

[11] Malgrange, B. Sommation des séries divergentes, Expositiones Mathematicae. International Journal, Volume 13 (1995) no. 2-3, pp. 163-222 | MR | Zbl

[12] Marotte, F.; Zhang, C. Multisommabilité des séries entières solutions formelles d’une équation aux $q$-différences linéaire analytique, Annales de l’Institut Fourier, Volume 50 (2000) no. 6, pp. 1859-1890 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[13] Ramis, J.-P. About the growth of entire functions solutions of linear algebraic $q$-difference equations, Toulouse. Faculté des Sciences. Annales. Mathématiques. Série 6, Volume 1 (1992) no. 1, pp. 53-94 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[14] Ramis, J.-P.; Martinet, J. Théorie de Galois différentielle et resommation, Comput. Math. Appl., Academic Press (1990), pp. 117-214 | MR | Zbl

[15] Ramis, J.-P.; Zhang, C. Développement asymptotique $q$-Gevrey et fonction thêta de Jacobi, C. R., Math., Volume 335 (2002) no. 11, pp. 899-902 | DOI | MR | Zbl

[16] Sauloy, J. Systèmes aux $q$-différences singuliers réguliers: classification, matrice de connexion et monodromie, Annales de l’Institut Fourier, Volume 50 (2000) no. 4, pp. 1021-1071 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[17] Sauloy, J. La filtration canonique par les pentes d’un module aux $q$-différences, 2002 no. 249 (arXiv:math.QA/0210221) | Zbl

[18] Sauloy, J. La filtration canonique par les pentes d’un module aux $q$-différences et le gradué associé, Annales de l’Institut Fourier, Volume 54 (2004) no. 1, pp. 181-210 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[19] Whittaker, E. T.; Watson, G. N. A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1988 | MR | Zbl

[20] Zhang, C. Développements asymptotiques $q$-Gevrey et séries $Gq$-sommables, Annales de l’Institut Fourier, Volume 49 (1999) no. 1, pp. 227-261 | DOI | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[21] Zhang, C. Transformations de $q$-Borel-Laplace au moyen de la fonction thêta de Jacobi, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences Série I. Mathématique, Volume 331 (2000) no. 1, pp. 31-34 | DOI | MR | Zbl

[22] Zhang, C. Sur la fonction $q$-gamma de Jackson, Aequationes Mathematicae, Volume 4 (2001) no. 1-2, pp. 60-78 | DOI | MR | Zbl

[23] Zhang, C. Une sommation discrète pour des équations aux $q$-différences linéaires et à coefficients analytiques: théorie générale et exemples, World Sci. Publishing, River Edge, NJ (2002), pp. 309-329 | MR | Zbl

[24] Zhang, C. Sur les fonctions $q$-Bessel de Jackson, Journal of Approximation Theory, Volume 122 (2003) no. 2, pp. 208-223 | MR | Zbl