On $q$-summation and confluence

Di Vizio, Lucia; Zhang, Changgui

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 1, pp. 347-392.

Cet article est divisé en deux parties. Dans la première partie, nous étudions un $q$-analogue convergent de la série d’Euler, pour $q\in ]0,1[$, et nous prouvons que la somme de Borel d’une série Gevrey générique, solution d’une équation différentielle, peut être approchée uniformément, sur un secteur convenable, par la solution méromorphe d’une équation aux $q$-différences associée. Dans la deuxième partie, nous travaillons sous l’hypothèse $q\in ]1,+\infty [$. Dans ce cas, au moins quatre notions différentes de $q$-sommations ont été introduites dans la littérature : nous clarifions, sous des hypothèses raisonnables, les relations entre ces notions.

This paper is divided in two parts. In the first part we study a convergent $q$-analog of the divergent Euler series, with $q\in (0,1)$, and we show how the Borel sum of a generic Gevrey formal solution to a differential equation can be uniformly approximated on a convenient sector by a meromorphic solution of a corresponding $q$-difference equation. In the second part, we work under the assumption $q\in (1,+\infty )$. In this case, at least four different $q$-Borel sums of a divergent power series solution of an irregular singular analytic $q$-difference equations are spread in the literature: under convenient assumptions we clarify the relations among them.

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