Modules universels en caractéristique naturelle pour un groupe réductif fini  [ Universal modules in natural characteristic for finite reductive groups ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 65 (2015) no. 1, p. 397-430

Let k be a finite field of characteristic p, let G be the group of k-rational points of a connected reductive group defined over an algebraic closure F ¯ p of k, and let U be the k-rational points of the unipotent radical of a Borel subgroup B defined over k. We study the universal module C of F ¯ p -valued functions on G that are invariant under translation by U, as a module over its G-endomorphism algebra H. Using a theorem by Cabanes, we prove that C is flat over H if and only if the category of finite dimensional H-modules is equivalent to the category of finite dimensional F ¯ p -representations of G generated by their U-invariant subspace. We study more specifically the flatness of C when G=GL(n,k) depending on the cardinality of k. In a subsequent paper, we will focus on n=3 and will show how some of these flatness results imply analogous statements for the universal module of the group GL(3) over a p-adic field.

Soit k un corps fini de caractéristique p, soit G le groupe des points k-rationnels d’un groupe réductif connexe défini sur une clôture algébrique F ¯ p de k et U les points k-rationnels du radical unipotent d’un sous-groupe de Borel B défini sur k. Nous étudions le module universel C des fonctions de G dans F ¯ p invariantes par translation par U, en tant que module sur son algèbre de G-endomorphismes H. En utilisant un résultat de Cabanes, nous prouvons que C est plat sur H si et seulement si la catégorie des H-modules de dimension finie est équivalente à celle des F ¯ p -représentations de dimension finie de G engendrées par leurs vecteurs U-invariants. En particulier, nous étudions la platitude de C dans le cas où G=GL(n,k), en fonction du cardinal de k. Dans un travail ultérieur, nous montrerons comment ces résultats de platitude impliquent des résultats analogues pour le module universel de GL(3) sur un corps p-adique.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2936
Classification:  20C33,  20C08
Keywords: Modular representation; Finite reductive group; Hecke algebra
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     author = {Ollivier, Rachel and S\'echerre, Vincent},
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Ollivier, Rachel; Sécherre, Vincent. Modules universels en caractéristique naturelle pour un groupe réductif fini. Annales de l'Institut Fourier, Volume 65 (2015) no. 1, pp. 397-430. doi : 10.5802/aif.2936. http://www.numdam.org/item/AIF_2015__65_1_397_0/

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