Quelques propriétés arithmétiques des points de 3-division de la jacobienne de y 2 =x 5 -1
Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 4 (1992) no. 1, pp. 113-128.

Soit C la courbe projective lisse et irréductible, définie sur Q, et dont un modèle affine est donné par y 2 =x 5 -1. On désigne par l’unique point de C qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit J la jacobienne de C et soit φ:C 2 J le morphisme associant à chaque couple (ξ,η) de points de C la classe du diviseur [ξ]+[η]-2[] dans Pic 0 C. Soient u,v,f les trois fonctions rationnelles sur J définies par

uφ(ξ,η)=x(ξ)+x(η),vφ(ξ,η)=x(ξ)x(η),f=-u+v+1
Le but de cet article est de montrer que pour tout point P de 3-division non nul de J,u(P) et v(P) sont des entiers algébriques et f(P)/5 est une unité. Nous expliciterons le corps engendré par ces valeurs ainsi que le polynôme minimal des f(P).

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TY  - JOUR
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Boxall, J.; Bavencoffe, E. Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$. Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 4 (1992) no. 1, pp. 113-128. http://archive.numdam.org/item/JTNB_1992__4_1_113_0/

[BMMB] J.-B. Bost, J.-F. Mestre, L. Moret-Bailly, Calcul explicite en genre 2, dans Séminaire sur les pinceaux de courbes elliptiques, édité par L Szpiro. Astérisque 183 (1990). | Numdam | MR

[F] J.D. Fay, Theta Functions on Riemann Surfaces, Lecture Notes in Math. 352, Springer- Verlag (1973). | MR | Zbl

[G1] D. Grant, Formal Groups in Genus Two, J. Reine und Angew. Math. 441 (1990), 96-121. | MR | Zbl

[G2] D. Grant, A Generalisation of a Formula of Eisenstein, Proc. London Math. Soc., (3) 62 (1991), 121-132. | MR | Zbl

[M] D. Mumford, Tata Lectures on Theta II., Progress in Math. 43, Birkhäuser, (1984). | MR | Zbl

[Sh-Ta] G. Shimura, Y. Tanayama, Complex Multiplication of Abelian Varieties and Its Application to Number Theory, Mathematical Society of Japan (1961). | MR | Zbl

[We] A. Weil, On the Theory of Complex Multiplication, Proc. International Symposium on Algebraic Number Theory, Tokyo- Nikko (1955), 9-12. | MR | Zbl