Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$

Boxall, J.; Bavencoffe, E.

Quelques propriétés arithmétiques des points de

3

-division de la jacobienne de

y^{2} = x^{5} - 1

Boxall, J. ; Bavencoffe, E.

Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 4 (1992) no. 1, pp. 113-128.

Résumé

Soit $C$ la courbe projective lisse et irréductible, définie sur $Q$ , et dont un modèle affine est donné par $y^{2} = x^{5} - 1$ . On désigne par $\infty$ l’unique point de $C$ qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit $J$ la jacobienne de $C$ et soit $φ : C^{2} ⟶ J$ le morphisme associant à chaque couple $(ξ, η)$ de points de $C$ la classe du diviseur $[ξ] + [η] - 2 [\infty]$ dans Pic $_{0} C$ . Soient $u, v, f$ les trois fonctions rationnelles sur $J$ définies par

\begin{matrix} u \circ φ (ξ, η) & = x (ξ) + x (η), \\ v \circ φ (ξ, η) & = x (ξ) x (η), \\ f & = - u + v + 1 \end{matrix}

Le but de cet article est de montrer que pour tout point

P

3

-division non nul de

J, u (P)

v (P)

sont des entiers algébriques et

f (P) / \sqrt{5}

est une unité. Nous expliciterons le corps engendré par ces valeurs ainsi que le polynôme minimal des

f (P)

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TY  - JOUR
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Boxall, J.; Bavencoffe, E. Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$. Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 4 (1992) no. 1, pp. 113-128. http://archive.numdam.org/item/JTNB_1992__4_1_113_0/

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