Dimension de Hausdorff de certains fractals aléatoires

Ben Nasr, Fathi

Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 4 (1992) no. 1, pp. 129-140.

On construit des ensembles de Cantor aléatoires par partages successifs de rectangles, en partant d’un carré, (le nombre de divisions de la longueur peut être différent de celui de la largeur). La construction est stationnaire : elle fait intervenir des variables aléatoires indépendantes et équidistribuées. Sur ces ensembles il existe une mesure naturelle, $\mu$, aléatoire elle aussi. Des résultats concernant les boréliens portant $\mu$ et leur dimension de Hausdorff ont déjà été obtenus par J. Peyrière et par F. Ben Nasr. Nous nous proposons ici d’améliorer ces résultats, plus précisément nous montrons que ces dimensions dépendent de la géométrie du graphe d’une certaine fonction convexe introduite par B. Mandelbrot. Nous donnons aussi la dimension du support de $\mu$ dans un cas laissé en suspens dans les travaux antérieurs.

We construct random Cantor sets by successive dissections of rectangles, starting from one square, (note that the number of divisions of both sides can be different). This construction is stationary : it uses independent and identically distributed random variables. On these sets there exists one natural measure $\mu$ which also is random. Some results on the measure $\mu$ and the Hausdorff dimension of Borel sets supporting $\mu$ have already been obtained by J. Peyrière and by F. Ben Nasr. In the present work we improve on these results. More precisely we prove that these dimensions depend on the graph geometry of a certain convex function which was introduced by Mandelbrot. We also give the dimension of the support of $\mu$ in a case which was not covered by the anterior works.

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