On traces of the Brandt-Eichler matrices
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 273-285.

On calcule le nombre d'idéaux localement principaux de norme donnée dans une classe d'ordres quaternioniques définis, et la trace des matrices de Brandt-Eichler correspondant à ces ordres. Pour application, on calcule ainsi le nombre de représentations d'un entier algébrique comme la norme d'un ordre quaternionique défini de nombre de classes égale à un. On obtient aussi des relations sur le nombre de classes pour certains corps à multiplication complexe.

We compute the numbers of locally principal ideals with given norm in a class of definite quaternion orders and the traces of the Brandt-Eichler matrices corresponding to these orders. As an application, we compute the numbers of representations of algebraic integers by the norm forms of definite quaternion orders with class number one as well as we obtain class number relations for some CM-fields.

@article{JTNB_1998__10_2_273_0,
     author = {Brzezinski, Juliusz},
     title = {On traces of the {Brandt-Eichler} matrices},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {273--285},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {10},
     number = {2},
     year = {1998},
     mrnumber = {1828245},
     zbl = {0924.11095},
     language = {en},
     url = {http://archive.numdam.org/item/JTNB_1998__10_2_273_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Brzezinski, Juliusz
TI  - On traces of the Brandt-Eichler matrices
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 1998
SP  - 273
EP  - 285
VL  - 10
IS  - 2
PB  - Université Bordeaux I
UR  - http://archive.numdam.org/item/JTNB_1998__10_2_273_0/
LA  - en
ID  - JTNB_1998__10_2_273_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Brzezinski, Juliusz
%T On traces of the Brandt-Eichler matrices
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 1998
%P 273-285
%V 10
%N 2
%I Université Bordeaux I
%U http://archive.numdam.org/item/JTNB_1998__10_2_273_0/
%G en
%F JTNB_1998__10_2_273_0
Brzezinski, Juliusz. On traces of the Brandt-Eichler matrices. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 273-285. http://archive.numdam.org/item/JTNB_1998__10_2_273_0/

[1] J. Brzezinski, On orders in quaternion algebras. Comm. Alg. 11 (1983), 501- 522. | MR | Zbl

[2] J. Brzezinski, On automorphisms of quaternion orders. J. Reine Angew. Math. 403 (1990), 166-186. | MR | Zbl

[3] J. Brzezinski, Definite quaternion orders of class number one. J. Théor. Nombres Bordeaux 7 (1995), 93-96. | Numdam | MR | Zbl

[4] C.W. Curtis, I. Reiner, Methods of representation theory. Vol. I. With applications to finite groups and orders. Pure and Applied Mathematics. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1981. | MR

[5] P. Demuth, Die Zahl der Darstellungen einer natürlicher Zahl durch spezielle quaternäre quadratische Formen aufgrund der Siegelschen Massformel. in Studien zur Theorie der quadratischen Formen, ed. B.L. van der Wearden und H. Gross, Birkhäuser Verlag, 1968. | MR

[6] L.E. Dickson, Algebras and Their Arithmetics. Dover Publications, Inc., New York 1960. | MR | Zbl

[7] L.E. Dickson, History of the Theory of Numbers. Vol. III. Chelsea Publishing Co., New York 1966.

[8] J. Dzewas, Quadratsummen in reell-quadratischen Zahlkörpern. Math. Nachr. 21 (1959), 233-284. | MR | Zbl

[9] M. Eichler, Zur Zahlentheorie der Quaternionenalgebren. J. Reine Angew. Math. 195 (1955), 127-151. | MR | Zbl

[10] F. Götzky, Über eine zahlentheoretische Anwendung von Modulfunktionen zweier Veränderlicher. Math. Ann. 100 (1928), 411-437. | JFM | MR

[11] H. Hasse, Über die Klassenzahl abelscher Zahlkörper. Akademie-Verlag, Berlin 1952. | MR | Zbl

[12] A. Hurwitz, Über die Zahlentheorie der Quaternionen. Nachr. k. Gesell. Wiss. Göttingen, Math.- Phys. Kl. (1886), 313-340. | JFM

[13] I. Kaplansky, Submodules of quaternion algebras. Proc. London Math. Soc.(3) 19 (1969), 219-232. | MR | Zbl

[14] I. Pays, Arbres, orders maximaux et formes quadratiques entières. in Number Theory: Séminaire de théorie des nombres de Paris (1992 -93), ed. David Sinnou, Cambridge University Press 1995. | MR | Zbl

[15] J.V. Uspensky, On Gierster's classnumber relations. Amer. J. Math. 50 (1928), 93-122. | JFM | MR

[16] M.-F. Vignéras, Arithmétique des Algebres de Quaternions, Lect. Notes in Math. 800, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg -New York 1980. | MR | Zbl