More on inhomogeneous diophantine approximation
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 539-557.

Pour un nombre irrationnel α et un nombre réel γ, on considère la constante d’approximation non-homogène

M(α,γ):=lim inf |n| |n|||nα-γ||
en rapport avec le développement en fraction continue négatif semi-régulier de α
α=1 a 1 -1 a 2 -1 a 3 -
et un α-développement adéquat de γ. Nous donnons une majoration de
ρ(α):=sup γ𝐙+α𝐙 M(α,γ),
dans le cas où α est mal approximé, qui s’avère fine lorsque les quotients partiels a i sont presque tous pairs et supérieurs ou égaux à 4. Lorsque le développement de α est de période 1, on décrit entièrement le spectre des valeurs prises par
𝐋(α):={M(α,γ):γ𝐙+α𝐙},
au-dessus du premier point d’accumulation.

For an irrational real numberα and real number γ we consider the inhomogeneous approximation constant

M(α,γ):=lim inf |n| |n|||nα-γ||
via the semi-regular negative continued fraction expansion of α
α=1 a 1 -1 a 2 -1 a 3 -
and an appropriate alpha-expansion of γ. We give an upper bound on the case of worst inhomogeneous approximation,
ρ(α):=sup γ𝐙+α𝐙 M(α,γ),
which is sharp when the partial quotients ai are almost all even and at least four. When the negative expansion has period one we give a complete description of the spectrum of values
L(α):={M(α,γ):γ𝐙+α𝐙},
above the first limit point.

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[1] E.S. Barnes, H.P.F. Swinnerton-Dyer, The inhomogeneous minima of binary quadratic forms. Part I, Acta Math. 87 (1952), 259-323; Part II, Acta Math. 88 (1952), 279-316; Part III, Acta Math. 92 (1954), 199-234; Part IV (without second author) Acta Math. 92 (1954), 235-264. | Zbl

[2] T.W. Cusick, A.M. Rockett, P. Szúsz, On inhomogeneous Diophantine approximation. J. Number Theory 48 (1994), 259-283. | MR | Zbl

[3] H. Davenport, Non-homogeneous binary quadratic forms. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 50 (1947), 741-749, 909-917 = Indagationes Math. 9 (1947), 351-359, 420-428. | MR | Zbl

[4] T. Komatsu, On inhomogeneous diophantine approximation and the Nishioka - Shiokawa- Tamura algorithm. Acta Arith. 86 (1998), 305-324. | MR | Zbl

[5] W. Moran, C. Pinner, A. Pollington, On inhomogeneous Diophantine approximation, preprint.

[6] P. Varnavides, Non-homogeneous quadratic forms, I, II. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 51, (1948) 396-404, 470-481. = Indagationes Math. 10 (1948), 142-150, 164-175. | MR | Zbl