Cohomology of integer matrices and local-global divisibility on the torus
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 20 (2008) no. 2, p. 327-334

Let p2 be a prime and let G be a p-group of matrices in SL n (), for some integer n. In this paper we show that, when n<3(p-1), a certain subgroup of the cohomology group H 1 (G,𝔽 p n ) is trivial. We also show that this statement can be false when n3(p-1). Together with a result of Dvornicich and Zannier (see [2]), we obtain that any algebraic torus of dimension n<3(p-1) enjoys a local-global principle on divisibility by p.

Soient p2 un nombre premier et G un p-groupe de matrices dans SL n (), pour un nombre entier n. Dans cet article nous montrons que, pour n<3(p-1), un certain sous-groupe du groupe de cohomologie H 1 (G,𝔽 p n ) est trivial. Nous montrons aussi que cette affirmation peut être fausse pour n3(p-1). Avec un résultat de Dvornicich et Zannier (voir [2]), nous obtenons que le principe local-global de divisibilité pour p vaut pour tout tore algébrique de dimension n<3(p-1).

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     author = {Illengo, Marco},
     title = {Cohomology of integer matrices and local-global divisibility on the torus},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux 1},
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Illengo, Marco. Cohomology of integer matrices and local-global divisibility on the torus. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 20 (2008) no. 2, pp. 327-334. doi : 10.5802/jtnb.629. http://www.numdam.org/item/JTNB_2008__20_2_327_0/

[1] J. W. S. Cassels, An introduction to the Geometry of Numbers. Springer, 1997. | MR 1434478 | Zbl 0866.11041

[2] R. Dvornicich, U. Zannier, Local-global divisibility of rational points in some commutative algebraic groups. Bull. Soc. Math. France 129 (2001), no. 3, 317–338. | Numdam | MR 1881198 | Zbl 0987.14016

[3] R. Dvornicich, U. Zannier, On a local-global principle for the divisibility of a rational point by a positive integer. Bull. London Math. Soc. 39 (2007), 27–34. | MR 2303515 | Zbl 1115.14011

[4] J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis. Hermann, 1967. | MR 232867 | Zbl 0189.02603