Strichartz estimates for Schrödinger equations with variable coefficients
[Inégalités de Strichartz pour l’équation de Schrödinger à coefficients variables]
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 101-102 (2005) , 214 p.

On démontre les inégalités de Strichartz (locales en temps) pour l’ensemble des indices donnés par l’invariance d’échelle (sauf le point final) pour des perturbations asymptotiquement plates et non captantes du laplacien usuel de ℝ n , n≥2. Le point principal de la preuve, à savoir l’estimation de dispersion, est obtenu en construisant une paramétrixe. L’outil principal de cette construction est la théorie de la transformation de FBI construite par Sjöstrand.

We prove the (local in time) Strichartz estimates (for the full range of parameters given by the scaling unless the end point) for asymptotically flat and non trapping perturbations of the flat Laplacian in ℝ n , n≥2. The main point of the proof, namely the dispersion estimate, is obtained in constructing a parametrix. The main tool for this construction is the use of the FBI transform.

DOI : 10.24033/msmf.414
Classification : 35A17, 35A22, 35Q40, 35Q55
Keywords: Strichartz estimates, Schrödinger equations, dispersive estimates, FBI transform, Sjöstrand’s theory
Mot clés : Inégalités de Strichartz, équations de Schrödinger, inégalités de dispersion, transformation de FBI, théorie de Sjöstrand 
@book{MSMF_2005_2_101-102__1_0,
     author = {Robbiano, Luc and Zuily, Claude},
     title = {Strichartz estimates for {Schr\"odinger} equations with variable coefficients},
     series = {M\'emoires de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     number = {101-102},
     year = {2005},
     doi = {10.24033/msmf.414},
     mrnumber = {2193021},
     zbl = {1097.35002},
     language = {en},
     url = {http://archive.numdam.org/item/MSMF_2005_2_101-102__1_0/}
}
TY  - BOOK
AU  - Robbiano, Luc
AU  - Zuily, Claude
TI  - Strichartz estimates for Schrödinger equations with variable coefficients
T3  - Mémoires de la Société Mathématique de France
PY  - 2005
IS  - 101-102
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://archive.numdam.org/item/MSMF_2005_2_101-102__1_0/
DO  - 10.24033/msmf.414
LA  - en
ID  - MSMF_2005_2_101-102__1_0
ER  - 
%0 Book
%A Robbiano, Luc
%A Zuily, Claude
%T Strichartz estimates for Schrödinger equations with variable coefficients
%S Mémoires de la Société Mathématique de France
%D 2005
%N 101-102
%I Société mathématique de France
%U http://archive.numdam.org/item/MSMF_2005_2_101-102__1_0/
%R 10.24033/msmf.414
%G en
%F MSMF_2005_2_101-102__1_0
Robbiano, Luc; Zuily, Claude. Strichartz estimates for Schrödinger equations with variable coefficients. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 101-102 (2005), 214 p. doi : 10.24033/msmf.414. http://numdam.org/item/MSMF_2005_2_101-102__1_0/

[1] N. Burq – « Estimations de Strichartz pour des perturbations à longue portée de l’opérateur de Schrödinger », in Séminaire Equations aux Dérivées Partielles, 2001-2002, École polytechnique, exp.no 11. | EuDML

[2] N. Burq, P. Gérard & N. Tzvetkov – « Strichartz inequalities and the non linear Schrödinger equation on compact manifold », Amer. J. Math. 126 (2004), p. 569–605. | MR | Zbl

[3] M. Christ & A. Kiselev – « Maximal functions associatef to filtrations », J. Funct. Anal. 179 (2001), no. 2, p. 409–425. | MR | Zbl

[4] G.M. Constantin & T.H. Savits – « A multivariate Faa di Bruno formula with applications », Trans. Amer. Math. Soc. 348 (1996), no. 2, p. 503–520. | Zbl

[5] S.I. Doi – « Smoothing effects of Schrödinger evolution groups on Riemannian manifolds », Duke Math. J. 82 (1996), p. 679–706. | MR | Zbl

[6] J. Ginibre & G. Velo – « Smoothing properties and retarded estimates for some dispersive evolutions », Comm. Math. Phys. 144 (1992), p. 163–188. | MR | Zbl

[7] A. Hassell, T. Tao & J. Wunsch – « A Strichartz inequality for the Schrödinger equation on non trapping asymptotically conic manifold », preprint. | MR

[8] —, « Sharp Strichartz estimates on non trapping asymptotically conic manifolds », preprint.

[9] L. Hörmander – The analysis of linear partial differential operators, vol. I & IV, Grundhehren, Springer. | MR | Zbl

[10] M. Kell & T. Tao – « End point Strichartz estimate », Amer. J. Math. 120 (1998), p. 955–980. | MR

[11] A. Melin & J. Sjöstrand – « Fourier integral operators with complex valued phase function », Lect. Notes in Math., vol. 459, Springer, p. 121–223. | MR

[12] L. Robbiano & C. Zuily – Analytic theory for the quadratic scattering wave front set and application to the Schrödinger equation, Astérisque, vol. 283, Société Mathématique de France, 2002. | MR | Zbl | Numdam

[13] J. Sjöstrand – Singularités analytiques microlocales, Astérisque, vol. 95, Société Mathématique de France, 1982. | MR | Zbl | Numdam

[14] H. Smith & C. Sogge – « Global Strichartz estimates for non trapping perturbations of the Laplacian », Comm. Partial Differential Equations 25 (2000), no. 11 & 12, p. 2171–2183. | MR | Zbl

[15] G. Staffilani & D. Tataru – « Strichartz estimates for a Schrödinger operator with non smooth coefficients », Comm. Partial Differential Equations (2002), no. 5 & 6, p. 1337–1372. | MR | Zbl

[16] R. Strichartz – « Restriction of Fourier transform to quadratic surfaces and decay of solutions to the wave equation », Duke Math. J. 44 (1977), p. 705–714. | MR | Zbl

[17] K. Yajima – « Existence of solutions for Schrödinger evolution equations », Comm. Math. Phys. 110 (1987), p. 415–426. | MR | Zbl

Cité par Sources :