Creation of fermions by rotating charged black holes
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 117 (2009), 160 p.
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This work is devoted to the mathematical study of the Hawking effect for fermions in the setting of the collapse of a rotating charged star. We show that an observer who is located far away from the star and at rest with respect to the Boyer Lindquist coordinates observes the emergence of a thermal state when his proper time goes to infinity. We first introduce a model of the collapse of the star. We suppose that the space-time outside the star is given by the Kerr-Newman metric. The assumptions on the asymptotic behavior of the surface of the star are inspired by the asymptotic behavior of certain timelike geodesics in the Kerr-Newman metric. The Dirac equation is then written using coordinates and a Newman-Penrose tetrad which are adapted to the collapse. This coordinate system and tetrad are based on the so called simple null geodesics. The quantization of Dirac fields in a globally hyperbolic space-time is described. We formulate and prove a theorem about the Hawking effect in this setting. The proof of the theorem contains a minimal velocity estimate for Dirac fields that is slightly stronger than the usual ones and an existence and uniqueness result for solutions of a characteristic Cauchy problem for Dirac fields in the Kerr-Newman space-time. In an appendix we construct explicitly a Penrose compactification of block I of the Kerr-Newman space-time based on simple null geodesics.

Ce travail est consacré à l’étude mathématique de l’effet Hawking pour des fermions dans le cadre de l’effondrement d’une étoile chargée en rotation. On démontre qu’un observateur localisé loin de l’étoile et au repos par rapport aux coordonnées de Boyer-Lindquist observe l’émergence d’un état thermal quand son temps propre tend vers l’infini. On introduit d’abord un modèle de l’effondrement de l’étoile. On suppose que l’espace-temps à l’extérieur de l’étoile est donné par la métrique de Kerr-Newman. Les hypothèses sur le comportement asymptotique de la surface de l’étoile sont inspirées par le comportement asymptotique de certaines géodésiques de type temps dans la métrique de Kerr-Newman. L’équation de Dirac est alors écrite en utilisant des coordonnées et une tétrade de Newman-Penrose adaptées à l’effondrement. Ce système de coordonnées et cette tétrade sont basés sur des géodésiques qu’on appelle des géodésiques simples isotropes. La quantification des champs de Dirac dans un espace-temps globalement hyperbolique est décrite. On formule un théorème sur l’effet Hawking dans ce cadre. La preuve du théorème contient une estimation de vitesse minimale pour les champs de Dirac légèrement plus forte que les estimations usuelles ainsi qu’un résultat d’existence et d’unicité pour les solutions d’un problème caractéristique pour les champs de Dirac dans l’espace-temps de Kerr-Newman. Dans un appendice, nous construisons explicitement la compactification de Penrose du bloc I de l’espace-temps de Kerr-Newman qui est basée sur les géodésiques simples isotropes.

DOI : https://doi.org/10.24033/msmf.429
Classification:  35P25,  35Q75,  58J45,  83C47,  83C57,  83C60
Keywords: General relativity, Kerr-Newman metric, Quantum field theory, Hawking effect, Dirac equation, Scattering theory, Characteristic Cauchy problem.
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Häfner, Dietrich. Creation of fermions by rotating charged black holes. Mémoires de la Société Mathématique de France, Serie 2, , no. 117 (2009), 160 p. doi : 10.24033/msmf.429. http://www.numdam.org/item/MSMF_2009_2_117__1_0/

[1] A. Bachelot« Gravitational scattering of electromagnetic field by a Schwarzschild black hole », Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor. 54 (1991), p. 261–320. | Numdam | MR 1122656 | Zbl 0743.53037

[2] —, « Asymptotic completeness for the Klein-Gordon equation on the Schwarzschild metric », Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor. 61 (1994), p. 411–441. | Numdam | MR 1311537 | Zbl 0809.35141

[3] —, « Quantum vacuum polarization at the black-hole horizon », Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor. 67 (1997), p. 181–222. | Numdam | MR 1472567 | Zbl 0897.53064

[4] —, « Scattering of scalar fields by spherical gravitational collapse », J. Math. Pures Appl. 76 (1997), p. 155–210. | MR 1432372 | Zbl 0872.53066

[5] —, « The Hawking effect », Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor. 70 (1999), p. 41–99. | Numdam | MR 1671210 | Zbl 0919.53034

[6] —, « Creation of fermions at the charged black-hole horizon », Ann. Henri Poincaré 1 (2000), p. 1043–1095. | MR 1809793 | Zbl 0977.83045

[7] —, « Superradiance and scattering of the charged Klein-Gordon field by a step-like electrostatic potential », J. Math. Pures Appl. 83 (2004), p. 1179–1239. | MR 2092306 | Zbl 1063.81095

[8] A. N. Bernal & M. Sanchez« On smooth hypersurfaces and Geroch’s splitting theorem », Comm. Math. Phys. 243 (2003), p. 461–470. | MR 2029362 | Zbl 1085.53060

[9] —, « Smoothness of time functions and the metric splitting of globally hyperbolic space-times », Comm. Math. Phys. 257 (2005), p. 43–50. | MR 2163568 | Zbl 1081.53059

[10] S. De Bièvre, P. Hislop & I. Sigal« Scattering theory for the wave equation on non-compact manifolds », Rev. Math. Phys. 4 (1992), p. 575–618. | MR 1197551 | Zbl 0778.58064

[11] O. Bratelli & D. W. RobinsonOperator algebras and quantum statistical mechanics 2, Springer Verlag, 1997. | MR 1441540

[12] B. CarterBlack hole equilibrium states, black holes/ les astres occlus, École d’été de Physique théorique, Les Houches, 1972, pp.57–214, Gordon and Breach, 1973. | MR 465047

[13] S. ChandrasekharThe mathematical theory of black holes, Oxford Univ. Press, 1983. | MR 700826 | Zbl 0511.53076

[14] T. Daudé« Scattering of charged Dirac fields by a Reissner-Nordström black hole », Preprint Université Bordeaux 1, 2004, Ph.D. thesis Université Bordeaux 1 (2004), Chapter 3, available online at http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011974/en/.

[15] —, « Scattering of charged Dirac fields by a Kerr-Newman black hole », Preprint Université Bordeaux 1, 2004, Ph.D. thesis Université Bordeaux 1 (2004), Chapter 4, available online at http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011974/en/.

[16] J. Dimock« Algebras of local observables on a manifold », Comm. Math. Phys. 77 (1980), p. 219–228. | MR 594301 | Zbl 0455.58030

[17] —, « Dirac quantum fields on a manifold », Trans. Amer. Math. Soc. 269 (1982), p. 133–147. | MR 637032 | Zbl 0518.58018

[18] —, « Scattering for the wave equation on the Schwarzschild metric », Gen. Relativ. Gravitation 17 (1985), p. 353–369. | MR 788801 | Zbl 0618.35088

[19] J. Dimock & B. S. Kay« Scattering for massive scalar fields on Coulomb potentials and Schwarzschild metrics », Classical Quantum Gravity 3 (1986), p. 71–80. | MR 821837 | Zbl 0591.35080

[20] —, « Classical and quantum scattering theory for linear scalar fields on the Schwarzschild metric I », Ann. Phys. 175 (1987), p. 366–426. | MR 887979 | Zbl 0628.53080

[21] —, « Classical and quantum scattering theory for linear scalar fields on the Schwarzschild metric II », J. Math. Phys. 27 (1986), p. 2520–2525. | MR 857397 | Zbl 0608.53065

[22] F. Finster, N. Kamran, J. Smoller & S.-T. Yau« An integral spectral representation of the propagator for the wave equation in the Kerr geometry », Comm. Math. Phys. 260 (2005), p. 257–298. | MR 2177321 | Zbl 1089.83017

[23] S. J. Flechter & A. W. C. Lun« The Kerr spacetime in generalized Bondi-Sachs coordinates », Class. Quantum Grav. 20 (2003), p. 4153–4167. | MR 2013223 | Zbl 1048.83014

[24] R. P. Geroch« Spinor structure of space-times in general relativity I », J. Math. Phys. 9 (1968), p. 1739–1744. | MR 234703 | Zbl 0165.29402

[25] —, « Spinor structure of space-times in general relativity II », J. Math. Phys. 11 (1970), p. 342–348. | MR 255217 | Zbl 0199.28303

[26] —, « The domain of dependence », J. Math. Phys. 11 (1970), p. 437–449. | MR 270697 | Zbl 0189.27602

[27] D. Häfner« Complétude asymptotique pour l’équation des ondes dans une classe d’espaces-temps stationnaires et asymptotiquement plats », Ann. Inst. Fourier 51 (2001), p. 779–833. | MR 1838466 | Zbl 0981.35031

[28] —, « Sur la théorie de la diffusion pour l’équation de Klein-Gordon dans la métrique de Kerr », Dissertationes Mathematicae 421 (2003), 102pp.

[29] D. Häfner & J.-P. Nicolas« Scattering of massless Dirac fields by a Kerr black hole », Rev. Math. Phys. 16 (2004), p. 29–123. | MR 2047861 | Zbl 1064.83036

[30] S. W. Hawking« Particle creation by black holes », Comm. Math. Phys. 43 (1975), p. 199–220. | MR 381625

[31] L. HörmanderThe Analysis of Linear Partial Differential Operators, Vol. I–IV, Springer, 1985. | MR 781537

[32] —, « A remark on the characteristic Cauchy problem », J. Funct. Anal. 93 (1990), p. 270–277. | MR 1073287 | Zbl 0724.35060

[33] W. M. Jin« Scattering of massive Dirac fields on the Schwarzschild black hole spacetime », Classical Quantum Gravity 15 (1998), p. 3163–3175. | MR 1662384 | Zbl 0942.83031

[34] W. Kinnersley« Type D vacuum metrics », J. Math. Phys. 10 (1969), p. 1195–1203. | MR 247861 | Zbl 0182.30202

[35] L. J. Mason & J.-P. Nicolas« Conformal scattering and the Goursat problem », J. Hyperbolic Differ. Equ. 1 (2004), p. 197–233. | MR 2070126 | Zbl 1074.83019

[36] F. Melnyk« Scattering on Reissner-Nordstrøm metric for massive charged spin 1 2 fields », Ann. Henri Poincaré 4(5) (2003), p. 813–846. | MR 2016993 | Zbl 1106.83015

[37] —, « The Hawking effect for spin 1 2 fields », Comm. Math. Phys. 244 (2004), p. 483–525. | MR 2034486 | Zbl 1062.83040

[38] J.-P. Nicolas« Scattering of linear Dirac fields by a spherically symmetric black hole », Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor. 62 (1995), p. 145–179. | Numdam | MR 1317184 | Zbl 0826.53072

[39] —, « Global exterior Cauchy problem for spin 3 2 zero rest-mass fields in the Schwarzchild space-time », Comm. Partial Differential Equations 22 (1997), p. 465–502.

[40] —, « Dirac fields on asymptotically flat space-times », Dissertationes Mathematicae 408 (2002), 85pp. | Zbl 1011.83015

[41] —, « On Lars Hörmander’s remark on the characteristic Cauchy problem », Ann. Inst. Fourier 56 (2006), p. 517–543. | Numdam | MR 2244222 | Zbl 1124.35037

[42] B. O’NeillThe geometry of Kerr black holes, A.K. Peters, Wellesley, 1995. | MR 1328643 | Zbl 0828.53078

[43] A. PazySemigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Applied Mathematical Sciences, vol. 44, Springer Verlag, 1983. | MR 710486 | Zbl 0516.47023

[44] R. Penrose & W. RindlerSpinors and space-time, vol. I, Cambridge monographs on mathematical physics, Cambridge Univ. Press, 1984. | MR 776784

[45] E. Stiefel« Richtungsfelder und Fernparallelismus in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten », Comment. Math. Helv. 8 (1936), p. 305–353. | JFM 62.0662.02 | MR 1509530

[46] B. ThallerThe Dirac equation, Texts and monographs in mathematical physics, Springer Verlag, 1992. | MR 1219537 | Zbl 0881.47021

[47] R. M. Wald« On particle creation by black holes », Comm. Math. Phys. 45 (1975), p. 9–34. | MR 391814

[48] —, General relativity, The University of Chicago Press, 1984. | Zbl 0549.53001