Le temps, l'espace et la démonstration. De Kant à Gentzen, en passant par Brouwer, Hilbert et Frege
Philosophia Scientiae, Aperçus philosophiques en logique et en mathématiques, Tome 9 (2005) no. 2, pp. 205-223.

Le but de cet article est d'étudier la référence à l'espace et au temps dans le problème du fondement des mathématiques, au cours de la période 1880-1935. Après avoir évoqué la problématique kantienne, qui reste présente dans la controverse entre Brouwer et Hilbert, nous discutons de la référence au temps dans l'intuitionisme et dans le programme formaliste pour montrer comment, dans les deux cas mais de façon différente, la référence au temps introduit des restrictions sur ce qui peut être considéré comme une démonstration mathématique. Nous évoquons ensuite trois tentatives, Frege, le Hilbert d'avant le programme formaliste et Gentzen, pour éliminer la référence au temps et ne fonder les mathématiques que sur l'intuition de l'espace.

The aim of this paper is to analyse the reference to space and time in the foundation of mathematics. First, we describe the reference to time in Brouwer's intuitionism and in Hilbert's formalism in order to show that the reference to time leads to different restrictions on what can be considered a mathematical proof. We then study three attempts, by Frege, by Hilbert around 1900, by Gentzen, to eliminate the reference to time and ground mathematics on the intuition of space.

@article{PHSC_2005__9_2_205_0,
     author = {Cassou-Nogu\`es, Pierre},
     title = {Le temps, l'espace et la d\'emonstration. {De} {Kant} \`a {Gentzen,} en passant par {Brouwer,} {Hilbert} et {Frege}},
     journal = {Philosophia Scientiae},
     pages = {205--223},
     publisher = {\'Editions Kim\'e},
     volume = {9},
     number = {2},
     year = {2005},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/item/PHSC_2005__9_2_205_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Cassou-Noguès, Pierre
TI  - Le temps, l'espace et la démonstration. De Kant à Gentzen, en passant par Brouwer, Hilbert et Frege
JO  - Philosophia Scientiae
PY  - 2005
SP  - 205
EP  - 223
VL  - 9
IS  - 2
PB  - Éditions Kimé
UR  - http://archive.numdam.org/item/PHSC_2005__9_2_205_0/
LA  - fr
ID  - PHSC_2005__9_2_205_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Cassou-Noguès, Pierre
%T Le temps, l'espace et la démonstration. De Kant à Gentzen, en passant par Brouwer, Hilbert et Frege
%J Philosophia Scientiae
%D 2005
%P 205-223
%V 9
%N 2
%I Éditions Kimé
%U http://archive.numdam.org/item/PHSC_2005__9_2_205_0/
%G fr
%F PHSC_2005__9_2_205_0
Cassou-Noguès, Pierre. Le temps, l'espace et la démonstration. De Kant à Gentzen, en passant par Brouwer, Hilbert et Frege. Philosophia Scientiae, Aperçus philosophiques en logique et en mathématiques, Tome 9 (2005) no. 2, pp. 205-223. http://archive.numdam.org/item/PHSC_2005__9_2_205_0/

[1] Borel, Emile 1905.- Quelques remarques sur les principes de la théorie des ensembles. Cité d'après [Rivenc & Rouilhan 1992, 294-295].

[2] Brouwer, Luitzen E. J. 1912.- Intuitionism en formalism. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault [Largeault 1992, 39-54]. | MR

[3] Cassou-Noguès, Pierre 2001a.- Hilbert, Figures du savoir, Paris : Les Belles Lettres, 2001. | Zbl

[4] Cassou-Noguès, Pierre 2001b.- De l'expérience mathématique. Essai sur la philosophie des sciences de Jean Cavaillès, Problèmes et controverses, Paris : Vrin, 2001. | MR | Zbl

[5] Cavaillès, Jean 1938.- Méthode axiomatique et formalisme. Essai sur le problème du fondement des mathématiques, Paris : Hermann, 1981. | Zbl

[6] Derrida, Jacques 1967.- La voix et le phénomène, Paris : P. U. F., 1967.

[7] Frege, Gottlob 1879.- Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle : Nebert, 1879. Cité d'après la traduction française par M. A. Sinaceur in [Rivenc & Rouilhan 1992, 98-129].

[8] Frege, Gottlob 1882.- Que la science justifie le recours à une idéographie. Cité d'après la traduction française par C. Imbert : Ecrits logiques et philosophiques, Paris : Seuil, 1971.

[9] Frege, Gottlob 1882-1883.- Sur le but de l'idéographie. Cité d'après la traduction française par C. Imbert : Ecrits logiques et philosophiques, Paris : Seuil, 1971.

[10] Gentzen, Gerhard 1935.- Untersuchungen über das logische Schließen, Mathematische Zeitschrift, 39 : 176-210 et 405-31. | MR | Zbl

[11] Girard, Jean-Yves 2001.- Locus Solum, Mathematical Structures in Computer Science, 11 (3). | MR

[12] Hilbert, David 1900.- Mathematische Probleme. Vortrag gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongress zu Paris, 1900, Arch. der Math. und Physik, 1 : 44-63 et 213-237. Cité d'après la traduction française par L. Laugel : Sur les problèmes futurs des mathématiques, Sceaux : J. Gabay, 1990. | JFM

[13] Hilbert, David 1922.- Neubegründung der Mathematik, Erste Mitteilung, Abh. aus d. Math. Semin. d. Hamb. Univ., 1 : 157-177. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault : Nouvelle fondation des mathématiques. Première communication, in [Largeault 1992, 107-131].

[14] Hilbert, David 1923.- Die logischen Grundlagen der Mathematik, Mathematische Annalen, 88 : 151-165. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault : Les fondements logiques des mathématiques, in [Largeault 1992, 131-145]. | JFM

[15] Hilbert, David 1926.- Ueber das Unendliche, Mathematische Annalen, 95. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault : Sur l'infini, in [Largeault 1972, 220-245].

[16] Hilbert, David 1927.- Die Grundlagen der Mathematik, Abh. aus d. Math. Semin. d. Hamb. Univ., 6 : 65-83. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault : Les fondements des mathématiques, in [Largeault 1992, 145-164].

[17] Hilbert, David 1928.- Probleme der Grundlegung der Mathematik, Mathematische Annalen, 102 : 1-9. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault : Problème de fondation des mathématiques, in [Largeault 1992, 175-187]. | JFM | MR

[18] Hilbert, David 1930.- Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre, Mathematische Annalen, 104 :485-94. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault : Le fondement de l'arithmétique élémentaire, in [Largeault 1992,187-197].

[19] Hilbert, David & Bernays, Paul 1934.- Grundlagen der Mathematik I, Berlin : Springer, 1934. | Zbl

[20] Kant, Immanuel 1781-1787.- Kritik der reinen Vernunft. Cité d'après la traduction française par A. Tremesaygues et B. Pacaud : Critique de la raison pure, Quadrige, Paris : P.U.F., 1990.

[21] Largeault, Jean 1972.- Logique mathématique, textes, Paris : A. Colin,1972. | MR | Zbl

[22] Largeault, Jean 1992.- Intuitionisme et théorie de la démonstration, Paris : Vrin, 1992. | Zbl

[23] Longo, Giuseppe 1995.- The difference between Clocks and Turing Machines, La Nuova Critica, 29 (1) : 31-42.

[24] Longo, Giuseppe 2003.- Space and Time in the Foundations of Mathematics, Intellectica, 36-37 (1-2).

[25] Rivenc, François & Rouilhan, Philippe De 1992.- Logique et fondement des mathématiques, Paris : Payot, 1992.