The aim of this paper is to analyse the reference to space and time in the foundation of mathematics. First, we describe the reference to time in Brouwer's intuitionism and in Hilbert's formalism in order to show that the reference to time leads to different restrictions on what can be considered a mathematical proof. We then study three attempts, by Frege, by Hilbert around 1900, by Gentzen, to eliminate the reference to time and ground mathematics on the intuition of space.
Le but de cet article est d'étudier la référence à l'espace et au temps dans le problème du fondement des mathématiques, au cours de la période 1880-1935. Après avoir évoqué la problématique kantienne, qui reste présente dans la controverse entre Brouwer et Hilbert, nous discutons de la référence au temps dans l'intuitionisme et dans le programme formaliste pour montrer comment, dans les deux cas mais de façon différente, la référence au temps introduit des restrictions sur ce qui peut être considéré comme une démonstration mathématique. Nous évoquons ensuite trois tentatives, Frege, le Hilbert d'avant le programme formaliste et Gentzen, pour éliminer la référence au temps et ne fonder les mathématiques que sur l'intuition de l'espace.
@article{PHSC_2005__9_2_205_0, author = {Cassou-Nogu\`es, Pierre}, title = {Le temps, l'espace et la d\'emonstration. {De} {Kant} \`a {Gentzen,} en passant par {Brouwer,} {Hilbert} et {Frege}}, journal = {Philosophia Scientiae}, pages = {205--223}, publisher = {\'Editions Kim\'e}, volume = {9}, number = {2}, year = {2005}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/item/PHSC_2005__9_2_205_0/} }
TY - JOUR AU - Cassou-Noguès, Pierre TI - Le temps, l'espace et la démonstration. De Kant à Gentzen, en passant par Brouwer, Hilbert et Frege JO - Philosophia Scientiae PY - 2005 SP - 205 EP - 223 VL - 9 IS - 2 PB - Éditions Kimé UR - http://archive.numdam.org/item/PHSC_2005__9_2_205_0/ LA - fr ID - PHSC_2005__9_2_205_0 ER -
%0 Journal Article %A Cassou-Noguès, Pierre %T Le temps, l'espace et la démonstration. De Kant à Gentzen, en passant par Brouwer, Hilbert et Frege %J Philosophia Scientiae %D 2005 %P 205-223 %V 9 %N 2 %I Éditions Kimé %U http://archive.numdam.org/item/PHSC_2005__9_2_205_0/ %G fr %F PHSC_2005__9_2_205_0
Cassou-Noguès, Pierre. Le temps, l'espace et la démonstration. De Kant à Gentzen, en passant par Brouwer, Hilbert et Frege. Philosophia Scientiae, Volume 9 (2005) no. 2, pp. 205-223. http://archive.numdam.org/item/PHSC_2005__9_2_205_0/
[1] Quelques remarques sur les principes de la théorie des ensembles. Cité d'après [Rivenc & Rouilhan 1992, 294-295].
1905.-[2] Intuitionism en formalism. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault [Largeault 1992, 39-54]. | MR
1912.-[3] Hilbert, Figures du savoir, Paris : Les Belles Lettres, 2001. | Zbl
2001a.-[4] De l'expérience mathématique. Essai sur la philosophie des sciences de Jean Cavaillès, Problèmes et controverses, Paris : Vrin, 2001. | MR | Zbl
2001b.-[5] Méthode axiomatique et formalisme. Essai sur le problème du fondement des mathématiques, Paris : Hermann, 1981. | Zbl
1938.-[6] La voix et le phénomène, Paris : P. U. F., 1967.
1967.-[7] Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle : Nebert, 1879. Cité d'après la traduction française par M. A. Sinaceur in [Rivenc & Rouilhan 1992, 98-129].
1879.-[8] Que la science justifie le recours à une idéographie. Cité d'après la traduction française par C. Imbert : Ecrits logiques et philosophiques, Paris : Seuil, 1971.
1882.-[9] Sur le but de l'idéographie. Cité d'après la traduction française par C. Imbert : Ecrits logiques et philosophiques, Paris : Seuil, 1971.
1882-1883.-[10] Untersuchungen über das logische Schließen, Mathematische Zeitschrift, 39 : 176-210 et 405-31. | MR | Zbl
1935.-[11] Locus Solum, Mathematical Structures in Computer Science, 11 (3). | MR
2001.-[12] Mathematische Probleme. Vortrag gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongress zu Paris, 1900, Arch. der Math. und Physik, 1 : 44-63 et 213-237. Cité d'après la traduction française par L. Laugel : Sur les problèmes futurs des mathématiques, Sceaux : J. Gabay, 1990. | JFM
1900.-[13] Neubegründung der Mathematik, Erste Mitteilung, Abh. aus d. Math. Semin. d. Hamb. Univ., 1 : 157-177. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault : Nouvelle fondation des mathématiques. Première communication, in [Largeault 1992, 107-131].
1922.-[14] Die logischen Grundlagen der Mathematik, Mathematische Annalen, 88 : 151-165. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault : Les fondements logiques des mathématiques, in [Largeault 1992, 131-145]. | JFM
1923.-[15] Ueber das Unendliche, Mathematische Annalen, 95. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault : Sur l'infini, in [Largeault 1972, 220-245].
1926.-[16] Die Grundlagen der Mathematik, Abh. aus d. Math. Semin. d. Hamb. Univ., 6 : 65-83. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault : Les fondements des mathématiques, in [Largeault 1992, 145-164].
1927.-[17] Probleme der Grundlegung der Mathematik, Mathematische Annalen, 102 : 1-9. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault : Problème de fondation des mathématiques, in [Largeault 1992, 175-187]. | JFM | MR
1928.-[18] Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre, Mathematische Annalen, 104 :485-94. Cité d'après la traduction française par Jean Largeault : Le fondement de l'arithmétique élémentaire, in [Largeault 1992,187-197].
1930.-[19] Grundlagen der Mathematik I, Berlin : Springer, 1934. | Zbl
& 1934.-[20] Kritik der reinen Vernunft. Cité d'après la traduction française par A. Tremesaygues et B. Pacaud : Critique de la raison pure, Quadrige, Paris : P.U.F., 1990.
1781-1787.-[21] Logique mathématique, textes, Paris : A. Colin,1972. | MR | Zbl
1972.-[22] Intuitionisme et théorie de la démonstration, Paris : Vrin, 1992. | Zbl
1992.-[23] The difference between Clocks and Turing Machines, La Nuova Critica, 29 (1) : 31-42.
1995.-[24] Space and Time in the Foundations of Mathematics, Intellectica, 36-37 (1-2).
2003.-[25] Logique et fondement des mathématiques, Paris : Payot, 1992.
& 1992.-