En quoi la crise des fondements des mathématiques est-elle terminée ?
Philosophia Scientiae, Volume 9 (2005) no. 2, pp. 23-39.

The “crisis in the foundations of mathematics”  (1902-1931) contributed to the advent of an axiomatic set-theoretic paradigm in terms of which the pressing questions of “Foundations of Mathematics” are still treated. Following the opposition between constructive and non-constructive philosophical and technical approaches, we provide the reader with a synthesis of these main questions, and present some minority insights which try to subvert this paradigm. We claim that the fruitful contemporary descriptive set theory, for example, actually reveals that this paradigm is getting exhausted conceptually speaking, and must be transcended. We thus hope to contribute towards a properly epistemological task : examining the nature of the stages of mathematical developments in 20 th century.

La «crise»  des fondements des mathématiques (1902-1931) fut l'agent de l'avènement du paradigme axiomatico-ensembliste dans lequel la plupart des tensions et stratégies fondationnelles continuent d'être formulées. Au terme d'une synthèse de ces interrogations et de leurs traductions techniques, qui suit le fil conducteur de l'opposition constructif / non-constructif, on montre quelques-unes des subversions, encore minoritaires, que subit ce paradigme. On insiste alors sur les voies possibles de son dépassement, en pointant l'essoufflement conceptuel qui transparaît derrière le dynamisme de l'une de ses branches actuelles, la théorie descriptive des ensembles. L'objectif est ainsi de contribuer à l'examen distancié, proprement épistémologique, de la nature des étapes du développement des mathématiques au 20 ème siècle.

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[1] Barot, Emmanuel 2004.- La crise des fondements des mathématiques fut-elle révolutionnaire ? Sur l'avènement du paradigme axiomatico-ensembliste, Actes des journées d'étude «  L'idée de révolution au XXI è siècle  », octobre 2003, Paris I - Sorbonne (s. d. O. Bloch et Société Chauvinoise de Philosophie), à paraître.

[2] Buss, S.R., Kechris, A. S., Pillay, A. & Shore, R. A. 2001.- The Prospects for Mathematical Logic in the twenty-first Century, Bulletin of Symbolic Logic, 7 (2), 169-195. | MR | Zbl

[3] Chihara, C. S. 1990.- Constructibility and Mathematical Existence, Oxford : Oxford University Press - Clarendon Press, 2001. | MR | Zbl

[4] Feferman, S. 1998.- In the Light of Logic, New York - Oxford : Oxford University press, 1998. | MR | Zbl

[5] Feferman, S., Friedman, H. M., Maddy, P. & Steel, J. R. 2000.- Does Mathematics need New Axioms ?, Bulletin of Symbolic Logic, 6 (4), 401-46. | MR | Zbl

[6] Ferreiros, José 1999.- Labyrinth of Thought. A History of Set Theory and its Role in Modern Mathematics, Birkhäuser, Basel : Science Networks, Historical Studies. | MR | Zbl

[7] Hintikka, J. 1996.- The Principles of Mathematics revisited, New York : Cambridge University Press, éd. Paperback, 1999. | MR | Zbl

[8] Jensen, R. 1995.- Inner Models and Large Cardinals, Bulletin of Symbolic Logic, 1 (4), 393-407. | MR | Zbl

[9] Kechris, A. S. 1999.- New Directions in Descriptive Set Theory, Bulletin of Symbolic Logic, 5 (2), 161-74. | MR | Zbl

[10] Kuratowski, K. & Mostowski, A. 1976.- Set Theory 1968. | MR | Zbl

[11] Largeault, J. (éd.) 1992.- Intuitionnisme et théorie de la démonstration, Paris : Vrin, 1992.

[12] Maddy P. 1990.- Realism in Mathematics, Oxford : Oxford University Press / Clarendon Press, 1990. | MR | Zbl

[13] Maddy P. 1993.- Does V equal L ?, Journal of Symbolic Logic, (58), repris in Tymoczko Thomas (éd.) New Directions in Philosophy of Mathematic, Princeton New Jersey : Princenton University Press, éd. revue et augmentée 1998, 357-84. | MR

[14] Maddy P. 1997.- Naturalism in Mathematics, Oxford : Oxford University Press / Clarendon Press, 1997. | MR | Zbl

[15] Mouloud, Noël 1989.- Les assises logiques et épistémologiques du progrès scientifique (posthume), Paris : Presses du Septentrion, 1989.

[16] Panza, M. & Salanskis, J.-M. (éds.) 1995.- L'objectivité mathématique. Platonisme et structures formelles, Paris : Masson, 1995.

[17] Petitot, J. 1995.- Pour un platonisme transcendantal, in [Panza & Salanskis 1995, 147-78].

[18] Rogers, H. Jr 1967.- Theory of Recursive Functions and Effective Computability, Cambridge, Massachusetts, London : MIT Press, 1987. | MR

[19] Salanskis, J.-M. 1995.- Platonisme et philosophie des mathématiques, in [Panza & Salanskis 1995, 179-212].

[20] Salanskis, J.-M. 1999.- Le constructivisme non standard, Lille : Presses Universitaires du Septentrion, 1999. | MR | Zbl

[21] Sureson, C. 1999.- Théorie des ensembles ou ensemble de théories ?, Revue d'Histoire des Sciences, 52 (1), janv.-mars 1999, 107-39. | MR | Zbl

[22] Weyl, H. 1953.- Comparaison entre procédures constructives et procédures axiomatiques en mathématiques, cité d'après la tr. fr. de Jean Largeault in Le continu et autres écrits, Vrin, 1994, 265-79. | MR