no. 2
La géométrie dans la géométrie des nombres : histoire de discipline ou histoire de pratiques à partir des exemples de Minkowski, Mordell et Davenport
Revue d'histoire des mathématiques, Tome 15 (2009) no. 2, pp. 183-230.

La géométrie des nombres est un domaine des mathématiques le plus souvent caractérisé par l'utilisation de méthodes géométriques pour traiter des problèmes issus de la théorie des nombres. Mais comment identifier une méthode géométrique ? À travers les travaux de Hermann Minkowski, Louis Mordell et Harold Davenport, nous essayons de préciser quelle géométrie est en question dans leurs travaux de géométrie des nombres et comment elle intervient. Nous montrons non seulement que ce qui est considéré comme géométrique change chez ces mathématiciens ; mais aussi que la place accordée à la géométrie n'est pas exactement la même. Ceci nous amènera à interroger la valeur historiographique d'une catégorie comme « géométrique » et son rapport à la pratique mathématique.

The Geometry of Numbers is a specialty of mathematics which is often characterized by its use of geometric methods in dealing with number theoretic problems. But how does one identify a geometric method? We try to clarify the kind of geometry which is at stake in the geometry of numbers as it was practiced by Hermann Minkowski, by Louis Mordell and Harold Davenport. We find that not only does what is considered as geometric vary between these mathematicians, but also the role played by geometry is not quite the same. This suggests reflections on the historiographical use of such categories as “geometric” and on their relations to mathematical practice.

Classification : 01A55, 01A60, 11-03
Mot clés : Minkowski, Mordell, Davenport, géométrie des nombres, géométrisation, géométrie, histoire de la théorie des nombres, discipline
Keywords: Minkowski, Mordell, Davenport, geometry of numbers, geometrization, geometry, history of number theory, discipline 
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[Blichfeldt 1914] Blichfeldt (Hans Frederik) - A New Principle in the Geometry of Numbers, with Some Applications, Transactions of the American Mathematical Society, 15 (1914), p. 227-235. | JFM | MR

[Blichfeldt 1929] Blichfeldt (Hans Frederik) - The Minimum Value of Quadratic Forms, and the Closest Packing of Spheres, Mathematische Annalen, 101 (1929), p. 605-608. | JFM | MR

[Cahen & Vahlen 1908] Cahen (Eugène) & Vahlen (Karl Theodor) - Théorie arithmétique des formes, Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, tome I, 3 (1908), p. 76-214.

[Chemla 1998] Chemla (Karine) - Lazare Carnot et la généralité en géométrie. Variations sur le théorème dit de Menelaus, Revue d'histoire des mathématiques, 4 (1998), p. 163-190. | Numdam | MR | Zbl

[Corry 2004] Corry (Leo) - Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898-1918) : From « Grundlagen der Geometrie » to « Grundlagen der Physik », Archimedes : New Studies in the History and Philosophy of Science and Technology, vol.10, Dordrecht : Kluwer, 2004. | MR | Zbl

[Davenport] Davenport (Harold) - Personal Papers of Harold Davenport, Wren Library, Trinity College, Cambridge.

[Davenport 1937] Davenport (Harold) - Note on a Result of Siegel, Acta Arithmetica, 2 (1937), p. 262-265. | JFM

[Davenport 1938a] Davenport (Harold) - On the Product of Three Homogeneous Linear Forms, Journal of the London Mathematical Society, 13 (1938), p. 139-145. | JFM | MR | Zbl

[Davenport 1938b] Davenport (Harold) - On the Product of Three Homogeneous Linear Forms (II), Proceedings of the London Mathematical Society, 44 (1938), p. 412-431. | JFM | MR | Zbl

[Davenport 1939] Davenport (Harold) - On the Product of Three Homogeneous Linear Forms (III), Proceedings of the London Mathematical Society, 45 (1939), p. 98-125. | JFM | MR | Zbl

[Davenport 1943] Davenport (Harold) - The Minimum of a Binary Cubic Form, Journal of the London Mathematical Society, 18 (1943), p. 168-176. | MR | Zbl

[Davenport 1946a] Davenport (Harold) - 1946 ; Inaugural lecture at the University College, London, le 6 juin 1946 ; dans [Davenport, A 59 et C 164].

[Davenport 1946b] Davenport (Harold) - La géométrie des nombres, 1946 ; conférence faite à Bruxelles ; dans [Davenport, C 130].

[Davenport 1947] Davenport (Harold) - The Geometry of Numbers, Nature, 159 (1947), p. 104-105. | MR | Zbl

[Davenport 1948] Davenport (Harold) - Notes de cours à Berkeley, 1948 ; dans [Davenport, C 165].

[Davenport 1964] Davenport (Harold) - L.J. Mordell, Acta Arithmetica, 9 (1964), p. 3-12. | MR | Zbl

[Galison 1979] Galison (Peter Louis) - Minkowski's Space-Time : From Visual Thinking to the Absolute World, Historical Studies in the Physical Sciences, 10 (1979), p. 85-121.

[Gauss 1807] Gauss (Carl Friedrich) - Recherches Arithmétiques, Courcier, Paris, 1807 ; traduction française par A.C.M Poullet-Delisle des Disquisitiones Arithmeticae, 1801.

[Gauss 1831] Gauss (Carl Friedrich) - Compte rendu de Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen von Ludwig August Seeber, Göttingische gelehrte Anzeigen, 1831 ; reproduit dans Werke, vol. II, 1863, p.188-196.

[Gauthier 2007] Gauthier (Sébastien) - La géométrie des nombres comme discipline (1890-1945), Thèse, Université Pierre et Marie Curie - Paris 6, 2007.

[Gauthier 2008] Gauthier (Sébastien) - The Work of Mordell and Davenport : A Transition in the History of the Geometry of Numbers ?, Oberwolfach Reports, 2008, p. 1317-1319 ; exposé au workshop History of Mathematics of the Early 20th Century : The Role of Transition organisé par Leo Corry, Della Fenster et Joachim Schwermer.

[Gauthier 2010] Gauthier (Sébastien) - Justifier l'utilisation de la géométrie en théorie des nombres : des exemples chez C.F. Gauss et H. Minkowski, dans Flament (Dominique) & Nabonnand (Philippe), éd., La justification en mathématiques, Paris : Maison des sciences de l'homme, 2010 ; à paraître.

[Goldstein 2007] Goldstein (Catherine) - The Hermitian Form of Reading the Disquisitiones, dans Goldstein (Catherine), Schappacher (Norbert) & Schwermer (Joachim), éd., The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae, Berlin : Springer, 2007, p. 377-410. | MR | Zbl

[Goldstein 2010] Goldstein (Catherine) - Un arithméticien contre l'arithmétisation : les principes de Charles Hermite, dans Flament (Dominique) & Nabonnand (Philippe), éd., La justification en mathématiques, Paris : Maison des sciences de l'homme, 2010 ; à paraître. | Zbl

[Goldstein & Schappacher 2007] Goldstein (Catherine) & Schappacher (Norbert) - Several Disciplines and a Book (1860-1901), dans Goldstein (Catherine), Schappacher (Norbert) & Schwermer (Joachim), éd., The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae, Berlin : Springer, 2007, p. 67-103. | MR | Zbl

[Hermite 1850] Hermite (Charles) - Extraits de lettres de M. Ch. Hermite à M. Jacobi sur différents objets de la théorie des nombres, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 40 (1850), p. 261-315. | Zbl

[Hilbert 1911] Hilbert (David) - Gedächtnisrede auf Hermann Minkowski, dans Hilbert (David), Speiser (Andreas) & Weyl (Hermann), éd., Gesammelte Abhandlungen von Hermann Minkowski, Teubner, 1911, p. V-XXXI. | JFM

[Hilbert & Cohn-Vossen 1952] Hilbert (David) & Cohn-Vossen (Stephen) - Geometry and the Imagination, New York : Chelsea Publishing Company, 1952 ; traduction par P. Nemenyi de Anschauliche Geometrie, 1932. | MR | Zbl

[Jordan 1892] Jordan (Camille) - Remarques sur les intégrales définies, Journal de mathématiques pures et appliquées, 8, 4e série (1892), p. 69-99. | JFM | Numdam

[Kjeldsen 2002] Kjeldsen (Tinne Hoff) - Different Motivations and Goals in the Historical Development of the Theory of Systems of Linear Inequalities, Archive for History of Exact Sciences, 56 (2002), p. 469-538. | MR | Zbl

[Kjeldsen 2008] Kjeldsen (Tinne Hoff) - From Measuring Tool to Geometrical Object : Minkowski's Development of the Concept of Convex Bodies, Archive for History of Exact Sciences, 62 (2008), p. 59-89. | MR | Zbl

[Klein 1897] Klein (Felix) - Sur l'« arithmétisation » des mathématiques, Nouvelles annales de mathématiques, 16 (1897), p. 114-128 ; traduction de Vassilief et Laugel d'un discours prononcé devant la société royale des sciences de Göttingen, Göttinger Nachrichten, 1895. | JFM | Numdam

[Klein 1898] Klein (Felix) - Les nombres idéaux, dans Conférences sur les mathématiques, Paris : Traduction de L. Laugel, Hermann, 1898, p. 58-66 ; conférence faite au congrès de mathématiques tenu à l'occasion de l'exposition de Chicago en 1893.

[Korkine & Zolotareff 1873] Korkine (Aleksander Nikolaevich) & Zolotareff (Egor Ivanovich) - Sur les formes quadratiques, Mathematische Annalen, 6 (1873), p. 366-389. | JFM

[Mehrtens 1990] Mehrtens (Herbert) - Moderne - Sprache - Mathematik. Eine Geschichte des Streits um die Grundlagen der Disziplin und des Subjekts formaler Systeme, Frankfurt : Suhrkamp, 1990. | MR | Zbl

[Mehrtens 1996] Mehrtens (Herbert) - Modernism vs. Counter-modernism, Nationalism vs. Internationalism : Style and Politics in Mathematics 1900-1950, dans Goldstein (Catherine), Gray (Jeremy) & Ritter (Jim), éd., L'europe mathématique. Histoires, Mythes, Identités., Paris : Maison des sciences de l'homme, 1996, p. 517-529. | MR | Zbl

[Minkowski 1891a] Minkowski (Hermann) - Théorèmes arithmétiques, Comptes rendus de l'Académie des sciences, 112 (1891), p. 209-212 ; extrait d'une lettre de Minkowski à Hermite. | JFM

[Minkowski 1891b] Minkowski (Hermann) - Ueber Geometrie der Zahlen, Verhandlungen der 64. Naturforscher- und Ärzteversammlung zu Halle, 1891, p. 13 ; reproduit dans Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung,vol.1, 1892, p. 64-65 et dans Minkowski [Minkowski 1911, p. 264-265]. | Zbl

[Minkowski 1891c] Minkowski (Hermann) - Ueber die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 107 (1891), p. 278-297. | JFM

[Minkowski 1893] Minkowski (Hermann) - Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite, Bulletin des sciences mathématiques, 17, 2e série (1893), p. 24-29. | JFM

[Minkowski 1896] Minkowski (Hermann) - Sur les propriétés des nombres entiers qui sont dérivées de l'intuition de l'espace, Nouvelles Annales de mathématiques, 15, 3e série (1896), p. 393-403 ; traduction de L. Laugel de la conférence faite à l'occasion de l'exposition de Chicago en 1893. | JFM | Numdam

[Minkowski 1901] Minkowski (Hermann) - Ueber die Annäherung an eine reelle Grösse durch rationale Zahlen, Mathematische Annalen, 54 (1901), p. 91-124. | JFM

[Minkowski 1904] Minkowski (Hermann) - Zur Geometrie der Zahlen, Verhandlungen des III. Internationalen Mathematiker-Kongresses, Heidelberg, 1904, p. 164-173 ; reproduit avec les illustrations utilisées par Minkowski dans [Minkowski 1911, p. 43-52]. | JFM

[Minkowski 1911] Minkowski (Hermann) - Gesammelte Abhandlungen, vol. I et II, Leipzig : Teubner, 1911 ; édité par David Hilbert avec la collaboration d'Andreas Speiser et Hermann Weyl.

[Minkowski 1910] Minkowski (Hermann) - Geometrie der Zahlen, Leipzig - Berlin : B. G. Teubner, 1910 ; 2e édition (1re édition 1896). | Zbl

[Molk 1911-1915] Molk (Jules), éd. - Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, noIII - Géométrie, Gabay, 1911-1915 ; édition de 1991. | Zbl

[Mordell 1928] Mordell (Louis Joel) - Minkowski's Theorem on the Product of Two Linear Forms, Journal of the London Mathematical Society, 3 (1928), p. 19-22. | JFM

[Mordell 1935] Mordell (Louis Joel) - On Some Arithmetical Results in the Geometry of Numbers, Compositio Mathematica, 1 (1935), p. 248-253. | JFM | Numdam | MR | Zbl

[Mordell 1941a] Mordell (Louis Joel) - On the Product of Two Non-Homogeneous Linear Forms, Journal of the London Mathematical Society, 16 (1941), p. 86-88. | JFM | Zbl

[Mordell 1941b] Mordell (Louis Joel) - On the Minimum of a Binary Cubic Form, Journal of the London Mathematical Society, 16 (1941), p. 83-85. | JFM | MR | Zbl

[Mordell 1942] Mordell (Louis Joel) - The Product of Three Homogeneous Linear Ternary Forms, Journal of the London Mathematical Society, 17 (1942), p. 107-115. | JFM | MR | Zbl

[Mordell 1943a] Mordell (Louis Joel) - The Minimum of a Binary Cubic Form (II), Journal of the London Mathematical Society, 18 (1943), p. 210-217. | MR | Zbl

[Mordell 1943b] Mordell (Louis Joel) - The Minimum of a Binary Cubic Form (I), Journal of the London Mathematical Society, 18 (1943), p. 201-210. | MR | Zbl

[Mordell 1945] Mordell (Louis Joel) - On Numbers Represented by Binary Cubic Forms, Proceedings of the London Mathematical Society, 48, 2e série (1945), p. 198-228. | MR | Zbl

[Mordell 1949] Mordell (Louis Joel) - The Minimum of a Binary Cubic Form, Acta Scientiarum Mathematicarum, 13 (1949), p. 69-76. | Zbl

[Mordell 1959] Mordell (Louis Joel) - Reflections of a Mathematician, Cambridge Univ. Press, 1959 (Discours prononcé en janvier 1955 à Toronto devant la Société Royale du Canada à l'occasion du Canadian Mathematical Congress).

[Mordell 1961] Mordell (Louis Joel) - Review of An Introduction to the Geometry of Numbers by J. W. S. Cassels, Bulletin of the American Mathematical Society, 67 (1961), p. 89-94. | MR | Zbl

[Mordell 1971] Mordell (Louis Joel) - Review of Geometry of Numbers by C. G. Lekkerkerker, Bulletin Canadien de Mathématiques, 14 (1971), p. 611-613.

[Nabonnand 2010] Nabonnand (Philippe) - L'argument de la généralité chez Carnot, Poncelet et Chasles, dans Flament (Dominique) & Nabonnand (Philippe), éd., La justification en mathématiques, Paris : Maison des sciences de l'homme, 2010 ; à paraître. | Zbl

[Olds et al. 2000 Olds, Lax & Davidoff] Olds (C.D.), Lax (Anneli) & Davidoff (Giuliana) - The Geometry of Numbers, vol.41, Washington : The Mathematical Association of America, 2000. | MR | Zbl

[Opolka & Scharlau 1985] Opolka (Hans) & Scharlau (Winfried) - From Fermat to Minkowski. Lectures on the Theory of Numbers and its Historical Development, New York-Berlin-London : Springer, 1985. | MR | Zbl

[Parshall & Rowe 1994] Parshall (Karen Hunger) & Rowe (David E.) - The Emergence of the American Research Community, 1876-1900 : J.J. Sylvester, Felix Klein, and E.H. Moore, History of mathematics, vol.8, Providence RI ; London : Amer. Math. Soc. - London Mathematical Society, 1994. | MR | Zbl

[Reid 1970] Reid (Constance) - Hilbert, New York : Springer, 1970 ; [Édition de 1996]. | MR | Zbl

[Rogers et al. 1971 Rogers, Birch, Burgess & Halberstam] Rogers (C.A.), Birch (B.J.), Burgess (D.A.) & Halberstam (H.) - Harold Davenport, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, 17 (1971), p. 159-192.

[Rowe 1989] Rowe (David E.) - Klein, Hilbert, and the Göttingen Mathematical Tradition, Osiris, 5 (1989), p. 186-213. | MR | Zbl

[Rüdenberg & Zassenhaus 1973] Rüdenberg (Lily) & Zassenhaus (Hans) - Hermann Minkowski Briefe an David Hilbert, Berlin-Heidelberg-New York : Springer, 1973.

[Schwermer 1991] Schwermer (Joachim) - Räumliche Anschauung und Minima positiv definiter quadratischer Formen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 93 (1991), p. 49-105. | MR | Zbl

[Schwermer 2007] Schwermer (Joachim) - Theory of Quadratic Forms : Towards Räumliche Anschauung in Minkowski's Early Work, dans Goldstein (Catherine), Schappacher (Norbert) & Schwermer (Joachim), éd., The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae, Berlin : Springer, 2007, p. 483-504. | MR

[Serre 1993] Serre (Jean-Pierre) - Smith, Minkowski et l'Académie des sciences, avec des notes de Norbert Schappacher. Gazette des mathématiciens, 56 (1993), p. 3-9. | MR | Zbl