La géométrie dans la géométrie des nombres : histoire de discipline ou histoire de pratiques à partir des exemples de Minkowski, Mordell et Davenport  [ The geometry in the “geometry of numbers”, history of a discipline or a practice; the examples of Minkowski, Mordell and Davenport ]
Revue d'histoire des mathématiques, Volume 15 (2009) no. 2, p. 183-230

The Geometry of Numbers is a specialty of mathematics which is often characterized by its use of geometric methods in dealing with number theoretic problems. But how does one identify a geometric method? We try to clarify the kind of geometry which is at stake in the geometry of numbers as it was practiced by Hermann Minkowski, by Louis Mordell and Harold Davenport. We find that not only does what is considered as geometric vary between these mathematicians, but also the role played by geometry is not quite the same. This suggests reflections on the historiographical use of such categories as “geometric” and on their relations to mathematical practice.

La géométrie des nombres est un domaine des mathématiques le plus souvent caractérisé par l'utilisation de méthodes géométriques pour traiter des problèmes issus de la théorie des nombres. Mais comment identifier une méthode géométrique ? À travers les travaux de Hermann Minkowski, Louis Mordell et Harold Davenport, nous essayons de préciser quelle géométrie est en question dans leurs travaux de géométrie des nombres et comment elle intervient. Nous montrons non seulement que ce qui est considéré comme géométrique change chez ces mathématiciens ; mais aussi que la place accordée à la géométrie n'est pas exactement la même. Ceci nous amènera à interroger la valeur historiographique d'une catégorie comme « géométrique » et son rapport à la pratique mathématique.

Classification:  01A55,  01A60,  11-03
Keywords: Minkowski, Mordell, Davenport, geometry of numbers, geometrization, geometry, history of number theory, discipline
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Gauthier, Sébastien. La géométrie dans la géométrie des nombres : histoire de discipline ou histoire de pratiques à partir des exemples de Minkowski, Mordell et Davenport. Revue d'histoire des mathématiques, Volume 15 (2009) no. 2, pp. 183-230. http://www.numdam.org/item/RHM_2009__15_2_183_0/

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[Goldstein 2010] Goldstein (Catherine) - Un arithméticien contre l'arithmétisation : les principes de Charles Hermite, dans Flament (Dominique) & Nabonnand (Philippe), éd., La justification en mathématiques, Paris : Maison des sciences de l'homme, 2010 ; à paraître. | Zbl 1280.01007

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[Kjeldsen 2008] Kjeldsen (Tinne Hoff) - From Measuring Tool to Geometrical Object : Minkowski's Development of the Concept of Convex Bodies, Archive for History of Exact Sciences, 62 (2008), p. 59-89. | MR 2365767 | Zbl 1145.01014

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[Korkine & Zolotareff 1873] Korkine (Aleksander Nikolaevich) & Zolotareff (Egor Ivanovich) - Sur les formes quadratiques, Mathematische Annalen, 6 (1873), p. 366-389. | JFM 05.0109.01

[Mehrtens 1990] Mehrtens (Herbert) - Moderne - Sprache - Mathematik. Eine Geschichte des Streits um die Grundlagen der Disziplin und des Subjekts formaler Systeme, Frankfurt : Suhrkamp, 1990. | MR 1090540 | Zbl 0978.00009

[Mehrtens 1996] Mehrtens (Herbert) - Modernism vs. Counter-modernism, Nationalism vs. Internationalism : Style and Politics in Mathematics 1900-1950, dans Goldstein (Catherine), Gray (Jeremy) & Ritter (Jim), éd., L'europe mathématique. Histoires, Mythes, Identités., Paris : Maison des sciences de l'homme, 1996, p. 517-529. | MR 1770143 | Zbl 0872.01017

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[Minkowski 1893] Minkowski (Hermann) - Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite, Bulletin des sciences mathématiques, 17, 2e série (1893), p. 24-29. | JFM 25.0256.01

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[Minkowski 1904] Minkowski (Hermann) - Zur Geometrie der Zahlen, Verhandlungen des III. Internationalen Mathematiker-Kongresses, Heidelberg, 1904, p. 164-173 ; reproduit avec les illustrations utilisées par Minkowski dans [Minkowski 1911, p. 43-52]. | JFM 36.0281.01

[Minkowski 1911] Minkowski (Hermann) - Gesammelte Abhandlungen, vol. I et II, Leipzig : Teubner, 1911 ; édité par David Hilbert avec la collaboration d'Andreas Speiser et Hermann Weyl.

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[Mordell 1935] Mordell (Louis Joel) - On Some Arithmetical Results in the Geometry of Numbers, Compositio Mathematica, 1 (1935), p. 248-253. | JFM 60.0158.01 | Numdam | MR 1556892 | Zbl 0009.15303

[Mordell 1941a] Mordell (Louis Joel) - On the Product of Two Non-Homogeneous Linear Forms, Journal of the London Mathematical Society, 16 (1941), p. 86-88. | JFM 67.0987.01 | Zbl 0060.11904

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[Reid 1970] Reid (Constance) - Hilbert, New York : Springer, 1970 ; [Édition de 1996]. | MR 270884 | Zbl 0849.01032

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[Rowe 1989] Rowe (David E.) - Klein, Hilbert, and the Göttingen Mathematical Tradition, Osiris, 5 (1989), p. 186-213. | MR 1093162 | Zbl 0894.01003

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[Schwermer 1991] Schwermer (Joachim) - Räumliche Anschauung und Minima positiv definiter quadratischer Formen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 93 (1991), p. 49-105. | MR 1106536 | Zbl 0725.01004

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[Serre 1993] Serre (Jean-Pierre) - Smith, Minkowski et l'Académie des sciences, avec des notes de Norbert Schappacher. Gazette des mathématiciens, 56 (1993), p. 3-9. | MR 1234126 | Zbl 0785.01009