Travaux de Zink

Travaux de Zink
[Travaux de Zink]

Messing, William

Séminaire Bourbaki : volume 2005/2006, exposés 952-966, Astérisque, no. 311 (2007), Exposé no. 964, pp. 341-364.

Résumé
Abstract

Les diverses théories de Dieudonné ont toutes pour but de classifier les groupes formels et les groupes $p$ -divisibles. La plus récente est la théorie des étalages (displays) de Zink. Un étalage sur un anneau $R$ est un module projectif de type fini sur l’anneau des vecteurs de Witt, $W (R)$ , muni de structures supplémentaires. Zink a montré qu’à l’aide de cette notion, plus concrète que celles utilisées antérieurement, on peut obtenir une bonne théorie et démontrer des théorèmes d’équivalence dans des cas assez généraux. On donnera une vue d’ensemble de sa théorie ainsi que quelques idées des démonstrations.

The diverse Dieudonné theories have as their common goal the classification of formal groups and $p$ -divisible groups. The most recent theory is Zink’s theory of displays. A display over a ring R is a finitely generated projective module over the ring of Witt vectors, $W (R)$ , equipped with additional structures. Zink has shown that using this notion, more concrete than those previously defined, one can obtain a good theory and prove an equivalence theorem in great generality. I will give an overview of his theory as well as sketch several proofs.

MR Zbl

Classification : 14F30, 14L05
Keywords: cristaux de Dieudonné, étalages, groupes formels, groupes

p

-divisibles
Mot clés : Dieudonné crystals, displays, formal groups,

p

-divisible groups

@incollection{SB_2005-2006__48__341_0,
     author = {Messing, William},
     title = {Travaux de {Zink}},
     booktitle = {S\'eminaire Bourbaki : volume 2005/2006, expos\'es 952-966},
     series = {Ast\'erisque},
     note = {talk:964},
     pages = {341--364},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     number = {311},
     year = {2007},
     mrnumber = {2359049},
     zbl = {1197.14050},
     language = {en},
     url = {https://www.numdam.org/item/SB_2005-2006__48__341_0/}
}

TY  - CHAP
AU  - Messing, William
TI  - Travaux de Zink
BT  - Séminaire Bourbaki : volume 2005/2006, exposés 952-966
AU  - Collectif
T3  - Astérisque
N1  - talk:964
PY  - 2007
SP  - 341
EP  - 364
IS  - 311
PB  - Société mathématique de France
UR  - https://www.numdam.org/item/SB_2005-2006__48__341_0/
LA  - en
ID  - SB_2005-2006__48__341_0
ER  -

%0 Book Section
%A Messing, William
%T Travaux de Zink
%B Séminaire Bourbaki : volume 2005/2006, exposés 952-966
%A Collectif
%S Astérisque
%Z talk:964
%D 2007
%P 341-364
%N 311
%I Société mathématique de France
%U https://www.numdam.org/item/SB_2005-2006__48__341_0/
%G en
%F SB_2005-2006__48__341_0

Messing, William. Travaux de Zink, dans Séminaire Bourbaki : volume 2005/2006, exposés 952-966, Astérisque, no. 311 (2007), Exposé no. 964, pp. 341-364. https://www.numdam.org/item/SB_2005-2006__48__341_0/

Bibliographie
Cité par

[Ber] P. Berthelot - Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique $p > 0$ , Lect. Notes in Math., vol. 407, Springer-Verlag, Berlin, 1974. | MR | Zbl

[BBM] P. Berthelot, L. Breen & W. Messing - Théorie de Dieudonné cristalline II, Lect. Notes in Math., vol. 930, Springer-Verlag, Berlin, 1982. | DOI | MR | Zbl

[BM1] P. Berthelot & W. Messing - “Théorie de Dieudonné cristalline I”, in Journées de Géométrie Algébrique de Rennes I, Astérisque, vol. 63, Soc. Math. France, Paris, 1979, p. 17-37. | Numdam | MR | Zbl

[BM2] -, “Théorie de Dieudonné cristalline III. Théorèmes d'équivalence et de pleine fidélité”, in The Grothendieck Festschrift, Vol. I, Progr. Math., vol. 86, Birkhäuser, Boston, 1990, p. 173-247. | Zbl

[Bour] N. Bourbaki - Algèbre commutative, chapitres 8 et 9, Masson, 1983. | MR | Zbl

[Br] C. Breuil - “Groupes $p$ -divisibles, groupes finis et modules filtrés”, Ann. of Math. (2) 152 (2000), no. 2, p. 489-549. | EuDML | MR | Zbl

[Car1] P. Cartier -“Groupes formels associés aux anneaux de Witt généralisés”, C. R. Acad. Sci. Paris 265 (1967), p. 50-52. | MR | Zbl

[Car2] -, “Modules associés à un groupe formel commutatif. Courbes typiques”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 265 (1967), p. A129-A132. | Zbl

[Car3] -, “Seminar at the Inst. Hautes Études Sci.”, Spring 1972.

[Dem] M. Demazure - Lectures on $p$ -divisible groups, Lect. Notes in Math., vol. 302, Springer-Verlag, Berlin, 1972. | DOI | MR | Zbl

[Fon1] J.-M. Fontaine - Groupes $p$ -divisibles sur les corps locaux, Astérisque, vol. 47-48, Soc. Math. France, Paris, 1977. | Numdam | MR | Zbl

[Fon2] -, “Groupes finis commutatifs sur les vecteurs de Witt”, C. R. Acad. Sci. Paris 280 (1975), p. A1423-A1425. | MR | Zbl

[Gr1] A. Grothendieck - “Groupes de Barsotti-Tate et cristaux”, in Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice 1970) I, Gauthier-Villars, Paris, 1971, p. 431-436. | MR | Zbl

[Gr2] -, Groupes de Barsotti-Tate et cristaux de Dieudonné, Sém. Math. Sup., vol. 45, Presses de l'Université de Montréal, Montréal, 1974. | MR | Zbl

[Gr3] -, Groupes de monodromie en géométrie algébrique I, Lect. Notes in Math., vol. 288, Springer-Verlag, Berlin, 1972. | MR

[Haz] M. Hazewinkel - Formal groups and applications, Pure Appl. Math., vol. 78, Academic Press Inc., New York, 1978. | MR | Zbl

[HM] L. Hesselholt & I. Madsen - “On the De Rham-Witt complex in mixed characteristic”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 37 (2004), no. 1, p. 1-43. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[Ill1] L. Illusie - “Complexe de de Rham-Witt et cohomologie cristalline”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 12 (1979), no. 4, p. 501-661. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[Ill2] -, “Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d'après A. Grothendieck)”, in Sur les pinceaux arithmétiques: la conjecture de Mordell, Astérisque, vol. 127, 1985, p. 151-198. | Numdam | Zbl

[Ill3] -, Complexe cotangent et déformations I, Lect. Notes in Math., vol. 239, Springer-Verlag, Berlin, 1971. | MR | Zbl

[Ill4] -, Complexe cotangent et déformations II, Lect. Notes in Math., vol. 283, Springer-Verlag, Berlin, 1972. | MR | Zbl

[dJ1] A. J. De Jong - “Finite locally free group schemes in characteristic $p$ and Dieudonné modules”, Invent. Math. 114 (1993), no. 1, p. 89-137. | EuDML | MR | Zbl

[dJ2] -, “Crystalline Dieudonné module theory via formal and rigid geometry”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. (1995), no. 82, p. 5-96 (1996). | Numdam | MR | Zbl

[dJM] A. J. De Jong & W. Messing - “Crystalline Dieudonné theory over excellent schemes”, Bull. Soc. Math. France 127 (1999), no. 2, p. 333-348. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[dJO] A. J. De Jong & F. Oort - “Purity of the stratification by Newton polygons”, J. Amer. Math. Soc. 13 (2000), no. 1, p. 209-241. | MR | Zbl

[K] M. Kisin - “Crystalline representations and $F$ -crystals”, in Algebraic geometry and number theory, Progr. Math., vol. 253, Birkhäuser, Boston, 2006, p. 459-496. | MR | Zbl

[LZ1] A. Langer & T. Zink - “De Rham-Witt cohomology for a proper and smooth morphism”, J. Inst. Math. Jussieu 3 (2004), no. 2, p. 231-314. | MR | Zbl

[LZ2] -, “De Rham-Witt cohomology and displays”, available on Zink's web page.

[L1] E. Lau - “Displays and formal $p$ -divisible groups”, submitted manuscript. | Zbl

[L2] -, “Dieudonné displays and duality”, manuscript, April 10, 2007.

[Laz] M. Lazard - Commutative formal groups, Lect. Notes in Math., vol. 443, Springer-Verlag, Berlin, 1975. | DOI | MR | Zbl

[MM] B. Mazur & W. Messing - Universal extensions and one dimensional crystalline cohomology, Lect. Notes in Math., vol. 370, Springer-Verlag, Berlin, 1974. | DOI | MR | Zbl

[M] W. Messing - The crystals associated to Barsotti-Tate groups: with applications to abelian schemes, Lect. Notes in Math., vol. 264, Springer-Verlag, Berlin, 1972. | DOI | MR | Zbl

[Mu] D. Mumford - “Bi-extensions of formal groups”, in Algebraic Geometry (Bombay, 1968), Oxford Univ. Press, London, 1969, p. 307-322. | MR | Zbl

[N] P. Norman - “An algorithm for computing local moduli of abelian varieties”, Ann. Math. (2) 101 (1975), p. 499-509. | MR | Zbl

[Ser] J.-P. Serre - “Groupes $p$ -divisibles (d’après J. Tate)”, in Séminaire Bourbaki 1966/67, Collection Hors Série, vol. 10, Soc. Math. France, Paris, 1995, exp. no. 318, p. 73-86. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[Ta] J. T. Tate - “ $p - d i v i s i b l e$ $g r o u p s .$ ”, in Proceedings of a Conference on local fields (Driebergen, 1966), Springer, Berlin, 1967, p. 158-183. | MR | Zbl

[V] A. Vasiu - “Crystalline boundedness principle”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 39 (2006), no. 2, p. 245-300. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[Z1] T. Zink - Cartiertheorie kommutativer formaler Gruppen, Teubner-Texte zur Mathematik, vol. 68, Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1984. | MR | Zbl

[Z2] -, “Cartiertheorie über perfecten Ringen I, II”, preprints Akad. Wissenschaften Berlin, 1986.

[Z3] -, “A Dieudonné theory for $p$ -divisible groups”, in Class field theory-its centenary and prospect (Tokyo, 1998), Adv. Stud. Pure Math., vol. 30, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2001, p. 139-160. | MR | Zbl

[Z4] -, “Windows for displays of $p$ -divisible groups”, in Moduli of abelian varieties (Texel Island 1999), Progr. Math., vol. 195, Birkhäuser, Basel, 2001, p. 491-518. | MR | Zbl

[Z5] -, “The display of a formal $p$ -divisible group”, in Cohomologies $p$ -adiques et applications arithmétiques I, Astérisque, vol. 278, 2002, p. 127-248. | Numdam | MR | Zbl

[Z6] -, “Lectures on displays, formal groups, ...”, Lectures at Université Paris XIII, March 2006.