Équations de transport dont les vitesses sont partiellement BV
Lerner, Nicolas1
1 Université de Rennes 1, Irmar, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2003-2004), Exposé no. 10, 19 p.

Nous démontrons l’unicité des solutions faibles pour une classe d’équations de transport dont les vitesses sont partiellement à variations bornées. Nous nous intéressons à des champs de vecteurs du type

a 1 (x 1 )·∂ x 1 +a 2 (x 1 ,x 2 )·∂ x 2 ,a 1 ∈BV(ℝ x 1 N 1 ),a 2 ∈L x 1 1 B V ( ℝ x 2 N 2 ),

avec une borne sur la divergence de chacun des champs a 1 ,a 2 . Ce modèle a été étudié récemment dans [] par C. Le Bris et P.-L. Lions avec une régularité W 1,1  ; nous montrons ici également que, dans le cas W 1,1 , le contrôle L ∞ de la divergence totale du champ est suffisant. Notre méthode consiste à démontrer la propriété de renormalisation à partir de l’étude de la commutation d’un opérateur pseudo-différentiel avec une fonction BV.

Classification : 35F05, 34A12, 26A45
Mots-clés : Vector fields, Transport equation, Weak solutions, $BV$
Lerner, Nicolas 1

1 Université de Rennes 1, Irmar, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France 
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[AFP] Ambrosio, L.; Fusco, N.; Pallara, D. Functions of bounded variations and free discontinuity problems, Oxford Mathematical monographs, 2000 | MR | Zbl

[Ai] Aizenman, M. On vector fields as generators of flows : a counterexample to Nelson’s conjecture, Ann. Math., Volume 107 (1978), pp. 287-296 | Zbl

[Al] Alberti, G. Rank one properties for derivatives of functions with bounded varioations, Pro. Roy. Soc. Edinburgh sect A, Volume 123 (1993), pp. 239-274 | MR | Zbl

[Am] Ambrosio, L. Transport equations and Cauchy problem for BV vector fields, toappear (2003) | MR | Zbl

[Bo] Bouchut, F. Renormalized solutions to the Vlasov equation with coefficients of bounded variation, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 157 (2001), pp. 75-90 | MR | Zbl

[CL1] Colombini, F.; Lerner, N. Uniqueness of continuous solutions for BV vector fields, Duke Math.J., Volume 111 (2002), pp. 357-384 | MR | Zbl

[CL2] Colombini, F.; Lerner, N. Uniqueness of L ∞ solutions for a class of conormal BV vector fields, Contemporary Mathematics (2004) | MR | Zbl

[CLR] Colombini, F.; Luo, T.; Rauch, J. Uniqueness and nonuniqueness for nonsmooth divergence free transport, Séminaire XEDP, Ecole Polytechnique (2003-04) | Numdam | MR | Zbl

[CP] Dolcetta, I. Capuzzo; Perthame, B. On some analogy between different approaches to first-order PDE’s with non smooth coefficients, Adv.Math.Sci.Appl., Volume 6 (1996), pp. 689-703 | Zbl

[De] Depauw, N. Non unicité des solutions bornées pour un champ de vecteurs BV en dehors d’un hyperplan., C.R.Math.Acad.Sci.Paris, Volume 337 (2003), pp. 4, 249-252 | Zbl

[DL] DiPerna, R.J.; Lions, P.-L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces, Invent. Math., Volume 98 (1989), pp. 511-547 | MR | Zbl

[Ho] Hounie, J. Local solvability of first order linear operators with Lipschitz coefficients, Duke Math.J., Volume 62 (1991), pp. no.2, 467-477 | MR | Zbl

[Le] Lerner, N. Transport equations with partially BV velocities (http://perso.univ-rennes1.fr/nicolas.lerner) | Zbl

[Li] Lions, P.-L. Sur les équations différentielles ordinaires et les équations de transport, C.R. Acad.Sc. Paris, Série I, Volume 326 (1998), pp. 833-838 | MR | Zbl

[LL] Bris, C. Le; Lions, P.-L. Renormalized solutions of some transport equations with partially W 1,1 velocities and applications, Annali di Matematica pura ed applicata., Volume 183 (2004), pp. 97-130 | MR | Zbl

[Sa] Raymond, X. Saint L’unicité pour les problèmes de Cauchy linéaires du premier ordre, Enseign. Math. no. 1-2, (2),, Volume 32 (1986), pp. 1-55 | Zbl

[Vo] Vol’pert, A.I. The space BV and quasi-linear equations, Math.USSR Sbornik, Volume 2 (1967), pp. 225-267 | Zbl

[Zi] Ziemer, W.P. Weakly differentiable functions, Springer-Verlag, 1989 | MR | Zbl