Transport de masse optimal et géométrie sous-riemannienne : le cas du groupe de Heisenberg
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2006-2007), Talk no. 19, 14 p.

On expose ici une solution au problème du transport optimal de mesure dans le groupe de Heisenberg dans le cas où la fonction de coût est le carré de la distance sous-riemannienne, dite de Carnot-Carathéodory. On explique également comment le transport optimal peut être obtenu comme limite des transports optimaux relatifs à des approximations riemanniennes naturelles du groupe de Heisenberg.

@article{SEDP_2006-2007____A19_0,
     author = {Rigot, S\'everine},
     title = {Transport de masse optimal et g\'eom\'etrie sous-riemannienne~: le cas du groupe de {Heisenberg}},
     journal = {S\'eminaire \'Equations aux d\'eriv\'ees partielles (Polytechnique) dit aussi "S\'eminaire Goulaouic-Schwartz"},
     note = {talk:19},
     pages = {1--14},
     publisher = {Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz, \'Ecole polytechnique},
     year = {2006-2007},
     mrnumber = {2385206},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/item/SEDP_2006-2007____A19_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Rigot, Séverine
TI  - Transport de masse optimal et géométrie sous-riemannienne : le cas du groupe de Heisenberg
JO  - Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz"
N1  - talk:19
PY  - 2006-2007
SP  - 1
EP  - 14
PB  - Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
UR  - http://archive.numdam.org/item/SEDP_2006-2007____A19_0/
LA  - fr
ID  - SEDP_2006-2007____A19_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Rigot, Séverine
%T Transport de masse optimal et géométrie sous-riemannienne : le cas du groupe de Heisenberg
%J Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz"
%Z talk:19
%D 2006-2007
%P 1-14
%I Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
%U http://archive.numdam.org/item/SEDP_2006-2007____A19_0/
%G fr
%F SEDP_2006-2007____A19_0
Rigot, Séverine. Transport de masse optimal et géométrie sous-riemannienne : le cas du groupe de Heisenberg. Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2006-2007), Talk no. 19, 14 p. http://archive.numdam.org/item/SEDP_2006-2007____A19_0/

[1] L. Ambrosio, Lecture notes on optimal transport problems, Mathematical aspects of evolving interfaces (Funchal, 2000), Lecture Notes in Math., vol. 1812, Springer, Berlin, 2003, pp. 1–52. | MR | Zbl

[2] L. Ambrosio and A. Pratelli, Existence and stability results in the L 1 theory of optimal transportation, Optimal transportation and applications (Martina Franca, 2001), Lecture Notes in Math., vol. 1813, Springer, Berlin, 2003, pp. 123-160. | MR | Zbl

[3] L. Ambrosio and S. Rigot, Optimal mass transportation in the Heisenberg group, J. Funct. Anal. 208 (2004), no. 2, 261-301. | MR | Zbl

[4] A. Bellaïche, The tangent space in sub-Riemannian geometry, in Sub-Riemannian geometry, Progr. Math., vol. 144, Birkhäuser, Basel, 1996, 1–78. | MR | Zbl

[5] Y. Brenier, Décomposition polaire et réarrangement monotone des champs de vecteurs, C.R. Acad. Sci. Paris, Sér I Math., 305 (1987), 805–808. | MR | Zbl

[6] Y. Brenier, Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions, Comm. Pure Appl. Math., 44 (1991), 375–417. | MR | Zbl

[7] L.C. Evans, Partial Differential Equations and Monge–Kantorovich Mass Transfer, Current Developments in Mathematics, 1997, 65–126. | MR | Zbl

[8] W. Gangbo, An elementary proof of the polar factorization theorem for functions, Arch. Rat. Mech. Anal., 128 (1994), 381–399. | MR | Zbl

[9] W. Gangbo and R.J. McCann, The geometry of optimal transportation, Acta Math., 177 (1996), 113–161. | MR | Zbl

[10] B. Gaveau, Principe de moindre action, propagation de la chaleur et estimées sous elliptiques sur certains groupes nilpotents, Acta Math. 139 (1977), no. 1-2, 95–153. | MR | Zbl

[11] M. Gromov, Structures métriques pour les variétés riemaniennes, CEDIC, Paris, 1981 | MR | Zbl

[12] M. Gromov, Carnot-Carathéodory spaces seen from within, in Sub-Riemannian geometry, Progr. Math., vol. 144, Birkhäuser, Basel, 1996,79–323. | MR | Zbl

[13] D. Jerison and A. Sanchez Calle, Subelliptic, second order differential operators, in Complex analysis, III (College Park, Md., 1985–86), 46–77, Lecture Notes in Math., 1277, Springer, Berlin, 1987. | MR | Zbl

[14] R.J. McCann, Polar factorization of maps on Riemannian manifolds, Geom. Funct. Anal., 11 (2001), 589–608. | MR | Zbl

[15] R. Monti, Some properties of Carnot-Carathéodory balls in the Heisenberg group, Rend. Mat. Acc. Lincei 11 (2000), 155–167. | MR | Zbl

[16] P. Pansu, Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un, Ann. of Math. (2) 129 (1989), no. 1, 1–60. | MR | Zbl

[17] S.T. Rachev and L. Rüschendorf, Mass transportation problems, Vol I : Theory, Vol. II : Applications. Probability and its applications, Springer, 1998. | MR | Zbl

[18] S. Rigot, Mass transportation in groups of type H, preprint. | MR | Zbl

[19] C. Villani, Topics in mass transportation, Graduate Studies in Mathematics, vol. 58, American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. | MR | Zbl