Transport de masse optimal et géométrie sous-riemannienne : le cas du groupe de Heisenberg
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2006-2007), Exposé no. 19, 14 p.

On expose ici une solution au problème du transport optimal de mesure dans le groupe de Heisenberg dans le cas où la fonction de coût est le carré de la distance sous-riemannienne, dite de Carnot-Carathéodory. On explique également comment le transport optimal peut être obtenu comme limite des transports optimaux relatifs à des approximations riemanniennes naturelles du groupe de Heisenberg.

@article{SEDP_2006-2007____A19_0,
     author = {Rigot, S\'everine},
     title = {Transport de masse optimal et g\'eom\'etrie sous-riemannienne~: le cas du groupe de Heisenberg},
     journal = {S\'eminaire \'Equations aux d\'eriv\'ees partielles (Polytechnique) dit aussi "S\'eminaire Goulaouic-Schwartz"},
     note = {talk:19},
     publisher = {Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz, \'Ecole polytechnique},
     year = {2006-2007},
     mrnumber = {2385206},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/item/SEDP_2006-2007____A19_0/}
}
Rigot, Séverine. Transport de masse optimal et géométrie sous-riemannienne : le cas du groupe de Heisenberg. Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2006-2007), Exposé no. 19, 14 p. http://archive.numdam.org/item/SEDP_2006-2007____A19_0/

[1] L. Ambrosio, Lecture notes on optimal transport problems, Mathematical aspects of evolving interfaces (Funchal, 2000), Lecture Notes in Math., vol. 1812, Springer, Berlin, 2003, pp. 1–52. | MR 2011032 | Zbl 1047.35001

[2] L. Ambrosio and A. Pratelli, Existence and stability results in the L 1 theory of optimal transportation, Optimal transportation and applications (Martina Franca, 2001), Lecture Notes in Math., vol. 1813, Springer, Berlin, 2003, pp. 123-160. | MR 2006307 | Zbl 1065.49026

[3] L. Ambrosio and S. Rigot, Optimal mass transportation in the Heisenberg group, J. Funct. Anal. 208 (2004), no. 2, 261-301. | MR 2035027 | Zbl 1076.49023

[4] A. Bellaïche, The tangent space in sub-Riemannian geometry, in Sub-Riemannian geometry, Progr. Math., vol. 144, Birkhäuser, Basel, 1996, 1–78. | MR 1421822 | Zbl 0862.53031

[5] Y. Brenier, Décomposition polaire et réarrangement monotone des champs de vecteurs, C.R. Acad. Sci. Paris, Sér I Math., 305 (1987), 805–808. | MR 923203 | Zbl 0652.26017

[6] Y. Brenier, Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions, Comm. Pure Appl. Math., 44 (1991), 375–417. | MR 1100809 | Zbl 0738.46011

[7] L.C. Evans, Partial Differential Equations and Monge–Kantorovich Mass Transfer, Current Developments in Mathematics, 1997, 65–126. | MR 1698853 | Zbl 0954.35011

[8] W. Gangbo, An elementary proof of the polar factorization theorem for functions, Arch. Rat. Mech. Anal., 128 (1994), 381–399. | MR 1308860 | Zbl 0828.57021

[9] W. Gangbo and R.J. McCann, The geometry of optimal transportation, Acta Math., 177 (1996), 113–161. | MR 1440931 | Zbl 0887.49017

[10] B. Gaveau, Principe de moindre action, propagation de la chaleur et estimées sous elliptiques sur certains groupes nilpotents, Acta Math. 139 (1977), no. 1-2, 95–153. | MR 461589 | Zbl 0366.22010

[11] M. Gromov, Structures métriques pour les variétés riemaniennes, CEDIC, Paris, 1981 | MR 682063 | Zbl 0509.53034

[12] M. Gromov, Carnot-Carathéodory spaces seen from within, in Sub-Riemannian geometry, Progr. Math., vol. 144, Birkhäuser, Basel, 1996,79–323. | MR 1421823 | Zbl 0864.53025

[13] D. Jerison and A. Sanchez Calle, Subelliptic, second order differential operators, in Complex analysis, III (College Park, Md., 1985–86), 46–77, Lecture Notes in Math., 1277, Springer, Berlin, 1987. | MR 922334 | Zbl 0634.35017

[14] R.J. McCann, Polar factorization of maps on Riemannian manifolds, Geom. Funct. Anal., 11 (2001), 589–608. | MR 1844080 | Zbl 1011.58009

[15] R. Monti, Some properties of Carnot-Carathéodory balls in the Heisenberg group, Rend. Mat. Acc. Lincei 11 (2000), 155–167. | MR 1841689 | Zbl 02217083

[16] P. Pansu, Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un, Ann. of Math. (2) 129 (1989), no. 1, 1–60. | MR 979599 | Zbl 0678.53042

[17] S.T. Rachev and L. Rüschendorf, Mass transportation problems, Vol I : Theory, Vol. II : Applications. Probability and its applications, Springer, 1998. | MR 1619170 | Zbl 0990.60500

[18] S. Rigot, Mass transportation in groups of type H, preprint. | MR 2166663 | Zbl 1089.49041

[19] C. Villani, Topics in mass transportation, Graduate Studies in Mathematics, vol. 58, American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. | MR 1964483 | Zbl 1106.90001