$𝒟$-modules arithmétiques surholonomes

Caro, Daniel

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 42 (2009) no. 1, pp. 141-192.

Soient $k$ un corps parfait de caractéristique $p>0$, $U$ une variété sur $k$ et $F$ une puissance de Frobenius. Nous construisons la catégorie des ($F$-)$𝒟$-modules arithmétiques surholonomes sur $U$ et celle des ($F$-)complexes de $𝒟$-modules arithmétiques sur $U$ surholonomes. Nous montrons que les complexes surholonomes sont stables par images directes, images inverses, images inverses extraordinaires, images directes extraordinaires, foncteurs duaux. De plus, lorsque $U$ est lisse, nous vérifions que les $F$-isocristaux surconvergents unités sur $U$ sont surholonomes. Cela implique leur holonomie, ce qui prouve en partie une conjecture de Berthelot.

Let $k$ be a perfect field of characteristic $p>0$, $U$ be a variety over $k$ and $F$ be a power of Frobenius. We construct the category of overholonomic arithmetic ($F$-)$𝒟$-modules over $U$ and the category of overholonomic ($F$-)complexes of arithmetic $𝒟$-modules over $U$. We show that the overholonomicity is stable under direct images, inverse images, extraordinary inverse images, extraordinary direct images, dual functors. Moreover, when $U$ is smooth, we check that unit-root overconvergent $F$-isocrystals on $U$ are overholonomic. This implies that they are holonomic, which proves in part a Berthelot’s conjecture.

Classification : 14F10, 14F30
Mot clés : $\mathcal {D}$-modules arithmétiques, holonomie, cohomologie $p$-adique
Keywords: arithmetic $\mathcal {D}$-modules, holonomicity, $p$-adic cohomology

[1] P. Berthelot, Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique $p>0$, Lecture Notes in Math. 407, Springer, 1974. | MR | Zbl

[2] P. Berthelot, Cohomologie rigide et théorie des $𝒟$-modules, in $p$-adic analysis (Trento, 1989), Lecture Notes in Math. 1454, Springer, 1990, 80-124. | MR | Zbl

[3] P. Berthelot, Cohérence différentielle des algèbres de fonctions surconvergentes, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 323 (1996), 35-40. | MR | Zbl

[4] P. Berthelot, Cohomologie rigide et cohomologie rigide à support propre. Première partie, prépublication IRMAR 96-03, Université de Rennes, 1996.

[5] P. Berthelot, $𝒟$-modules arithmétiques. I. Opérateurs différentiels de niveau fini, Ann. Sci. École Norm. Sup. 29 (1996), 185-272. | Numdam | MR | Zbl

[6] P. Berthelot, $𝒟$-modules arithmétiques II. Descente par Frobenius, Mém. Soc. Math. Fr. 81 (2000). | Numdam | Zbl

[7] P. Berthelot, Introduction à la théorie arithmétique des $𝒟$-modules, Astérisque 279 (2002), 1-80. | Numdam | MR | Zbl

[8] P. Berthelot, $𝒟$-modules arithmétiques IV. Variété caractéristique, en préparation.

[9] A. Borel, P.-P. Grivel, B. Kaup, A. Haefliger, B. Malgrange & F. Ehlers, Algebraic $D$-modules, Perspectives in Mathematics 2, Academic Press Inc., 1987. | MR | Zbl

[10] D. Caro, Cohérence différentielle des $F$-isocristaux unités, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 338 (2004), 145-150. | MR | Zbl

[11] D. Caro, $𝒟$-modules arithmétiques surcohérents. Application aux fonctions $L$, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 54 (2004), 1943-1996. | Numdam | MR | Zbl

[12] D. Caro, Comparaison des foncteurs duaux des isocristaux surconvergents, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 114 (2005), 131-211. | Numdam | MR | Zbl

[13] D. Caro, Dévissages des $F$-complexes de $𝒟$-modules arithmétiques en $F$-isocristaux surconvergents, Invent. Math. 166 (2006), 397-456. | MR | Zbl

[14] D. Caro, Fonctions $L$ associées aux $𝒟$-modules arithmétiques. Cas des courbes, Compos. Math. 142 (2006), 169-206. | MR | Zbl

[15] D. Caro, $F$-isocristaux surconvergents et surcohérence différentielle, Invent. Math. 170 (2007), 507-539. | MR | Zbl

[16] D. Caro, Log-isocristaux surconvergents et holonomie, à paraître dans Compos. Math. | MR

[17] D. Caro, $𝒟$-modules arithmétiques associés aux isocristaux surconvergents. Cas lisse, preprint arXiv :math/0510422.

[18] D. Caro, Sur la compatibilité à Frobenius de l'isomorphisme de dualité relative, preprint arXiv :math/0509448.

[19] D. Caro, Sur la stabilité par produits tensoriels des $F$-complexes de $𝒟$-modules arithmétiques, preprint arXiv :math/0605125.

[20] D. Caro & N. Tsuzuki, Overholonomicity of overconvergent $F$-isocrystals over smooth varieties, preprint arXiv :0803.2105. | MR | Zbl

[21] R. Elkik, Solutions d'équations à coefficients dans un anneau hensélien, Ann. Sci. École Norm. Sup. 6 (1973), 553-603. | Numdam | MR | Zbl

[22] J.-Y. Étesse & B. Le Stum, Fonctions $L$ associées aux $F$-isocristaux surconvergents. I. Interprétation cohomologique, Math. Ann. 296 (1993), 557-576. | MR | Zbl

[23] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. 52, Springer, 1977. | MR | Zbl

[24] A. J. De Jong, Smoothness, semi-stability and alterations, Publ. Math. I.H.É.S. 83 (1996), 51-93. | Numdam | MR | Zbl

[25] K. S. Kedlaya, Full faithfulness for overconvergent $F$-isocrystals, in Geometric aspects of Dwork theory. Vol. I, II, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2004, 819-835. | MR | Zbl

[26] K. S. Kedlaya, Semistable reduction for overconvergent $F$-isocrystals. I. Unipotence and logarithmic extensions, Compos. Math. 143 (2007), 1164-1212. | MR | Zbl

[27] K. S. Kedlaya, Semistable reduction for overconvergent $F$-isocrystals. II. A valuation-theoretic approach, Compos. Math. 144 (2008), 657-672. | MR | Zbl

[28] K. S. Kedlaya, $p$-adic cohomology, preprint arXiv :math.NT/0601507. | MR

[29] K. S. Kedlaya, Semistable reduction for overconvergent $F$-isocrystals, III : Local semistable reduction at monomial valuations, preprint arXiv :math/0609645. | MR | Zbl

[30] K. S. Kedlaya, Semistable reduction for overconvergent $F$-isocrystals, IV : Local semistable reduction at nonmonomial valuations, preprint arXiv :0712.3400. | MR | Zbl

[31] B. Le Stum, Rigid cohomology, Cambridge Tracts in Mathematics 172, Cambridge University Press, 2007. | MR | Zbl

[32] C. Noot-Huyghe, Un théorème de comparaison entre les faisceaux d'opérateurs différentiels de Berthelot et de Mebkhout-Narváez-Macarro, J. Algebraic Geom. 12 (2003), 147-199. | MR | Zbl

[33] C. Noot-Huyghe, Finitude de la dimension homologique d'algèbres d'opérateurs différentiels faiblement complètes et à coefficients surconvergents, J. Algebra 307 (2007), 499-540. | MR | Zbl

[34] N. Tsuzuki, Morphisms of $F$-isocrystals and the finite monodromy theorem for unit-root $F$-isocrystals, Duke Math. J. 111 (2002), 385-418. | MR | Zbl

[35] A. Virrion, Dualité locale et holonomie pour les $𝒟$-modules arithmétiques, Bull. Soc. Math. France 128 (2000), 1-68. | Numdam | MR | Zbl

[36] A. Virrion, Trace et dualité relative pour les $𝒟$-modules arithmétiques, in Geometric aspects of Dwork theory. Vol. I, II, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2004, 1039-1112. | MR | Zbl