𝒟-modules arithmétiques surholonomes
[Overholonomic arithmetic 𝒟-modules]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Serie 4, Volume 42 (2009) no. 1, pp. 141-192.

Let k be a perfect field of characteristic p>0, U be a variety over k and F be a power of Frobenius. We construct the category of overholonomic arithmetic (F-)𝒟-modules over U and the category of overholonomic (F-)complexes of arithmetic 𝒟-modules over U. We show that the overholonomicity is stable under direct images, inverse images, extraordinary inverse images, extraordinary direct images, dual functors. Moreover, when U is smooth, we check that unit-root overconvergent F-isocrystals on U are overholonomic. This implies that they are holonomic, which proves in part a Berthelot’s conjecture.

Soient k un corps parfait de caractéristique p>0, U une variété sur k et F une puissance de Frobenius. Nous construisons la catégorie des (F-)𝒟-modules arithmétiques surholonomes sur U et celle des (F-)complexes de 𝒟-modules arithmétiques sur U surholonomes. Nous montrons que les complexes surholonomes sont stables par images directes, images inverses, images inverses extraordinaires, images directes extraordinaires, foncteurs duaux. De plus, lorsque U est lisse, nous vérifions que les F-isocristaux surconvergents unités sur U sont surholonomes. Cela implique leur holonomie, ce qui prouve en partie une conjecture de Berthelot.

DOI: 10.24033/asens.2092
Classification: 14F10,  14F30
Keywords: arithmetic 𝒟-modules, holonomicity, p-adic cohomology
@article{ASENS_2009_4_42_1_141_0,
     author = {Caro, Daniel},
     title = {$\mathcal {D}$-modules arithm\'etiques surholonomes},
     journal = {Annales scientifiques de l'\'Ecole Normale Sup\'erieure},
     pages = {141--192},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {4e s{\'e}rie, 42},
     number = {1},
     year = {2009},
     doi = {10.24033/asens.2092},
     zbl = {1168.14013},
     mrnumber = {2518895},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2092/}
}
TY  - JOUR
AU  - Caro, Daniel
TI  - $\mathcal {D}$-modules arithmétiques surholonomes
JO  - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY  - 2009
DA  - 2009///
SP  - 141
EP  - 192
VL  - 4e s{\'e}rie, 42
IS  - 1
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2092/
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A1168.14013
UR  - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2518895
UR  - https://doi.org/10.24033/asens.2092
DO  - 10.24033/asens.2092
LA  - fr
ID  - ASENS_2009_4_42_1_141_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Caro, Daniel
%T $\mathcal {D}$-modules arithmétiques surholonomes
%J Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
%D 2009
%P 141-192
%V 4e s{\'e}rie, 42
%N 1
%I Société mathématique de France
%U https://doi.org/10.24033/asens.2092
%R 10.24033/asens.2092
%G fr
%F ASENS_2009_4_42_1_141_0
Caro, Daniel. $\mathcal {D}$-modules arithmétiques surholonomes. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Serie 4, Volume 42 (2009) no. 1, pp. 141-192. doi : 10.24033/asens.2092. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2092/

[1] P. Berthelot, Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0, Lecture Notes in Math. 407, Springer, 1974. | MR | Zbl

[2] P. Berthelot, Cohomologie rigide et théorie des 𝒟-modules, in p-adic analysis (Trento, 1989), Lecture Notes in Math. 1454, Springer, 1990, 80-124. | MR | Zbl

[3] P. Berthelot, Cohérence différentielle des algèbres de fonctions surconvergentes, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 323 (1996), 35-40. | MR | Zbl

[4] P. Berthelot, Cohomologie rigide et cohomologie rigide à support propre. Première partie, prépublication IRMAR 96-03, Université de Rennes, 1996.

[5] P. Berthelot, 𝒟-modules arithmétiques. I. Opérateurs différentiels de niveau fini, Ann. Sci. École Norm. Sup. 29 (1996), 185-272. | Numdam | MR | Zbl

[6] P. Berthelot, 𝒟-modules arithmétiques II. Descente par Frobenius, Mém. Soc. Math. Fr. 81 (2000). | Numdam | Zbl

[7] P. Berthelot, Introduction à la théorie arithmétique des 𝒟-modules, Astérisque 279 (2002), 1-80. | MR | Zbl

[8] P. Berthelot, 𝒟-modules arithmétiques IV. Variété caractéristique, en préparation.

[9] A. Borel, P.-P. Grivel, B. Kaup, A. Haefliger, B. Malgrange & F. Ehlers, Algebraic D-modules, Perspectives in Mathematics 2, Academic Press Inc., 1987. | MR | Zbl

[10] D. Caro, Cohérence différentielle des F-isocristaux unités, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 338 (2004), 145-150. | MR | Zbl

[11] D. Caro, 𝒟-modules arithmétiques surcohérents. Application aux fonctions L, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 54 (2004), 1943-1996. | Numdam | MR | Zbl

[12] D. Caro, Comparaison des foncteurs duaux des isocristaux surconvergents, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 114 (2005), 131-211. | Numdam | MR | Zbl

[13] D. Caro, Dévissages des F-complexes de 𝒟-modules arithmétiques en F-isocristaux surconvergents, Invent. Math. 166 (2006), 397-456. | MR | Zbl

[14] D. Caro, Fonctions L associées aux 𝒟-modules arithmétiques. Cas des courbes, Compos. Math. 142 (2006), 169-206. | MR | Zbl

[15] D. Caro, F-isocristaux surconvergents et surcohérence différentielle, Invent. Math. 170 (2007), 507-539. | MR | Zbl

[16] D. Caro, Log-isocristaux surconvergents et holonomie, à paraître dans Compos. Math. | MR

[17] D. Caro, 𝒟-modules arithmétiques associés aux isocristaux surconvergents. Cas lisse, preprint arXiv :math/0510422.

[18] D. Caro, Sur la compatibilité à Frobenius de l'isomorphisme de dualité relative, preprint arXiv :math/0509448.

[19] D. Caro, Sur la stabilité par produits tensoriels des F-complexes de 𝒟-modules arithmétiques, preprint arXiv :math/0605125.

[20] D. Caro & N. Tsuzuki, Overholonomicity of overconvergent F-isocrystals over smooth varieties, preprint arXiv :0803.2105. | MR | Zbl

[21] R. Elkik, Solutions d'équations à coefficients dans un anneau hensélien, Ann. Sci. École Norm. Sup. 6 (1973), 553-603. | Numdam | MR | Zbl

[22] J.-Y. Étesse & B. Le Stum, Fonctions L associées aux F-isocristaux surconvergents. I. Interprétation cohomologique, Math. Ann. 296 (1993), 557-576. | MR | Zbl

[23] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. 52, Springer, 1977. | MR | Zbl

[24] A. J. De Jong, Smoothness, semi-stability and alterations, Publ. Math. I.H.É.S. 83 (1996), 51-93. | Numdam | MR | Zbl

[25] K. S. Kedlaya, Full faithfulness for overconvergent F-isocrystals, in Geometric aspects of Dwork theory. Vol. I, II, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2004, 819-835. | MR | Zbl

[26] K. S. Kedlaya, Semistable reduction for overconvergent F-isocrystals. I. Unipotence and logarithmic extensions, Compos. Math. 143 (2007), 1164-1212. | MR | Zbl

[27] K. S. Kedlaya, Semistable reduction for overconvergent F-isocrystals. II. A valuation-theoretic approach, Compos. Math. 144 (2008), 657-672. | MR | Zbl

[28] K. S. Kedlaya, p-adic cohomology, preprint arXiv :math.NT/0601507. | MR

[29] K. S. Kedlaya, Semistable reduction for overconvergent F-isocrystals, III : Local semistable reduction at monomial valuations, preprint arXiv :math/0609645. | MR | Zbl

[30] K. S. Kedlaya, Semistable reduction for overconvergent F-isocrystals, IV : Local semistable reduction at nonmonomial valuations, preprint arXiv :0712.3400. | MR | Zbl

[31] B. Le Stum, Rigid cohomology, Cambridge Tracts in Mathematics 172, Cambridge University Press, 2007. | MR | Zbl

[32] C. Noot-Huyghe, Un théorème de comparaison entre les faisceaux d'opérateurs différentiels de Berthelot et de Mebkhout-Narváez-Macarro, J. Algebraic Geom. 12 (2003), 147-199. | MR | Zbl

[33] C. Noot-Huyghe, Finitude de la dimension homologique d'algèbres d'opérateurs différentiels faiblement complètes et à coefficients surconvergents, J. Algebra 307 (2007), 499-540. | MR | Zbl

[34] N. Tsuzuki, Morphisms of F-isocrystals and the finite monodromy theorem for unit-root F-isocrystals, Duke Math. J. 111 (2002), 385-418. | MR | Zbl

[35] A. Virrion, Dualité locale et holonomie pour les 𝒟-modules arithmétiques, Bull. Soc. Math. France 128 (2000), 1-68. | Numdam | MR | Zbl

[36] A. Virrion, Trace et dualité relative pour les 𝒟-modules arithmétiques, in Geometric aspects of Dwork theory. Vol. I, II, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2004, 1039-1112. | MR | Zbl

Cited by Sources: