Bas du spectre et delta-hyperbolicité en géométrie de Hilbert plane
[Bottom of the spectrum and delta hyperbolicity in Hilbert plane geometry]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 3, pp. 357-381.

We prove that the Hilbert geometry of a convex domain in the plane is Gromov hyperbolic, if, and only if, the bottom of its spectrum is not zero.

On montre l'équivalence entre l'hyperbolicité au sens de Gromov de la géométrie de Hilbert d'un domaine convexe du plan et la non nullité du bas du spectre de ce domaine.

DOI: 10.24033/bsmf.2513
Mot clés : géométrie de Hilbert, hyperbolicité, bas du spectre
Keywords: géométrie de Hilbert, hyperbolicité, bas du spectre
@article{BSMF_2006__134_3_357_0,
     author = {Colbois, Bruno and Vernicos, Constantin},
     title = {Bas du spectre et delta-hyperbolicit\'e en g\'eom\'etrie de {Hilbert} plane},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     pages = {357--381},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {134},
     number = {3},
     year = {2006},
     doi = {10.24033/bsmf.2513},
     mrnumber = {2245997},
     zbl = {1117.53034},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2513/}
}
TY  - JOUR
AU  - Colbois, Bruno
AU  - Vernicos, Constantin
TI  - Bas du spectre et delta-hyperbolicité en géométrie de Hilbert plane
JO  - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY  - 2006
SP  - 357
EP  - 381
VL  - 134
IS  - 3
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2513/
DO  - 10.24033/bsmf.2513
LA  - fr
ID  - BSMF_2006__134_3_357_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Colbois, Bruno
%A Vernicos, Constantin
%T Bas du spectre et delta-hyperbolicité en géométrie de Hilbert plane
%J Bulletin de la Société Mathématique de France
%D 2006
%P 357-381
%V 134
%N 3
%I Société mathématique de France
%U http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2513/
%R 10.24033/bsmf.2513
%G fr
%F BSMF_2006__134_3_357_0
Colbois, Bruno; Vernicos, Constantin. Bas du spectre et delta-hyperbolicité en géométrie de Hilbert plane. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 3, pp. 357-381. doi : 10.24033/bsmf.2513. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2513/

[1] Y. Benoist - « Convexes hyperboliques et fonctions quasisymétriques », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 97 (2003), p. 181-237. | Numdam | MR | Zbl

[2] J. Benzécri - « Sur les variétés localement affines et localement projectives », Bull. Soc. Math. France 88 (1960), p. 229-232. | Numdam | MR | Zbl

[3] M. Bridson & A. Haefliger - Metric spaces of non-positive curvature, Comprehensive Studies in Mathematics, vol. 319, Springer, 1999. | MR | Zbl

[4] D. Burago, Y. Burago & S. Ivanov - A course in metric geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 33, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001. | MR | Zbl

[5] J. Cao - « Cheeger isoperimetric constants of Gromov-hyperbolic spaces with quasi-poles », Commun. Contemp. Math. 2 (2000), p. 511-533. | MR | Zbl

[6] I. Chavel - Riemannian geometry : a modern introduction, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 108, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. | MR | Zbl

[7] B. Colbois, C. Vernicos & P. Verovic - « L'aire des triangles idéaux en géométrie de Hilbert », Enseign. Math. 50 (2004), no. 3-4, p. 203-237. | MR | Zbl

[8] B. Colbois & P. Verovic - « Hilbert geometry for strictly convex domains », Geom. Dedicata 105 (2004), p. 29-42. | MR | Zbl

[9] P. De La Harpe - « On Hilbert's metric for simplices », Geometric group theory, Vol. 1 (Sussex, 1991), Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993, p. 97-119. | MR | Zbl

[10] L. Hörmander - Notions of convexity, Progress in Mathematics, vol. 127, Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, 1994. | MR | Zbl

[11] A. Karlsson & G. A. Noskov - « The Hilbert metric and Gromov hyperbolicity », Enseign. Math. (2) 48 (2002), p. 73-89. | MR | Zbl

[12] Z. Shen - Lectures on Finsler geometry, World Scientific, 2001. | MR | Zbl

[13] E. Socié-Méthou - « Caractérisation des ellipsoïdes par leurs groupes d'automorphismes », Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 35 (2002), p. 537-548. | Numdam | Zbl

[14] -, « Behaviour of distance functions in Hilbert-Finsler geometry », Differential Geom. Appl. 20 (2004), p. 1-10. | MR | Zbl

[15] A. Thompson - Minkowski geometry, Encyclopedia of Mathematics and its applications, vol. 63, Cambridge University Press, 1996. | MR | Zbl

[16] C. Vernicos - « The macroscopic sound of tori », Pacific J. Math. 213 (2004), p. 121-156. | MR | Zbl

Cited by Sources: