Homotopie régulière inactive et engouffrement symplectique

Laudenbach, François

Annales de l'Institut Fourier, Volume 36 (1986) no. 2, pp. 93-111.

A regular homotopy ${\varphi }_t:\Delta \to (M,\omega )$, $t\in [0,1]$, into a symplectic manifold is said actionless if, at each point, the infinitesimal displacement is $\omega$-orthogonal to the tangent space of the moving object. If $\Delta$ is a polyedra in $M^{2n}$ of dimension $<n$ and if $U$ denotes an open set in $M$, every homotopy from $A\to M$ to $\Delta \to U$ can be deformed to an actionless regular homotopy. Some application to engulfing is given in symplectic geometry.

Une homotopie régulière ${\phi }_t:\Delta \to (M,\omega )$, $t\in [0,1]$, dans une variété symplectique est dite inactive si en chaque point le déplacement infinitésimal est $\omega$-orthogonal à l’espace tangent de l’objet déplacé. Si $\Delta$ est un polyèdre de $M^{2n}$ de dimension $<n$ et si $U$ est un ouvert de $M$, toute homotopie de $\Delta \hookrightarrow M$ jusqu’à $\Delta \to U$ est déformable en une homotopie régulière inactive. On donne une application à l’engouffrement en géométrie symplectique.

[Abraham-Robbin] R. Abraham, J. Robbin, Transversal mappings and flows, Benjamin, New-York, Amsterdam, 1967. | MR | Zbl

[Conley-Zehnder-Chaperon] C. Conley et E. Zehnder, The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a conjecture of V.I. Arnold, Inv. Math., 73 (1983), 33-49.M. Chaperon et E. Zehnder, Quelques résultats globaux en géométrie symplectique, in Séminaire Sud-Rhodanien de géométrie III, ed. par P. Dazord, N. Desolneux-Moulis, Hermann, Paris, 1984.M. Chaperon, Une idée du type " géodésiques brisées " pour les systèmes hamiltoniens, C.R.A.S., Paris, 298 (1984), 293-296. | Zbl

[Duistermaat] J. J. Duistermaat, Fourier integral operators, Courant Inst. of Math., N.Y.U., 1973. | MR | Zbl

[Gromov]M. GromovConvex integration of differential relations, Math. U.S.S.R. Izvestia, 7 (1973), 329-343. | MR | Zbl

[Haeflinger] A. Haefliger, Lectures on the theorem of Gromov, 128-141, in Proceedings of Liverpool singularities Symposium II, Lect. Notes in Math., 209, Springer, 1971. | MR | Zbl

[Hofer] H. Hofer, Lagrangian embeddings and critical point theory, Ann. Inst. H. Poincaré, Analyse non linéaire, 2 (1985), 407-462. | Numdam | MR | Zbl

[Laudenbach-Sikorav] F. Laudenbach et J.-C. Sikorav, Persistance d'intersection avec la section nulle au cours d'une isotopie hamiltonienne dans un fibré cotangent, Invent. Math., 82 (1985), 348-357. | MR | Zbl

[Spring] D. Spring, Convex integration of non-linear systems of partial differential equations, Ann. Inst. Fourier, 33, 3 (1983), 121-177. | Numdam | MR | Zbl