Let be a connected -dimensional Lie group and a locally free action of on a compact -dimensional manifold (). We assume that the Lie algebra of contains a field such that the eigenvalues of are with . Then, we show that is -conjugated to a homogeneous action of on where is a Lie group containing and a lattice of . We provide many examples, related to Anosov theory.
Soient un groupe de Lie connexe de dimension , une action localement libre de classe de sur une variété compacte de dimension . Nous supposons qu’il existe dans l’algèbre de Lie de un champ tel que les valeurs propres de soient avec . Alors, nous montrons que est -conjuguée à une “action modèle" de sur un espace homogène où est un groupe de Lie contenant . Si , est uniquement déterminé par ; si , il y a deux groupes possibles, et nous pouvons donc donner une classification complète. D’autre part, nos hypothèses impliquent que a une structure particulière, mais il existe quand même de nombreux exemples : notamment, la famille des groupes ayant cette propriété est continue en toute dimension ; pour un choix générique de , le groupe correspondant n’a aucun quotient compact de dimension , et ceci fournit une famille continue de groupes de Lie ne possédant aucune action de codimension 1 “suffisamment régulière” sur une variété compacte. Ces résultats sont liés à la théorie d’Anosov.
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Belliart, Michel; Birembaux, Olivier. Actions localement libres de groupes résolubles. Annales de l'Institut Fourier, Volume 44 (1994) no. 5, pp. 1519-1537. doi : 10.5802/aif.1444. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1444/
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