The theory of Beurling’s generalized prime numbers involves , the counting function of the generalized integers, , the counting function of the generalized prime numbers, and , the related zeta function. Assumptions on correspond to properties of , which may or not imply the “prime number theorem” (PNT) or the “Tchebycheff inequality” (TI) . The article studies the role of the function , in relation with the algebras et . It is shown that the assumption implies (PNT) if , but not when , and that (TI) is implied by the fact that belongs locally to or in a neighborhood of 0, but not by the corresponding assumption with in place of or .
La théorie des nombres premiers généralisés de Beurling fait intervenir , la fonction de décompte des entiers généralisés, , celle des nombres premiers généralisés, et , la fonction dzeta adaptée. Les hypothèses sur se traduisent en propriétés de , qui entraînent ou non le “théorème des nombres premiers” (TNP) ou “ l’inégalité de Tchebycheff” (IT) . L’article est consacré au rôle de la fonction , en relation avec les algèbres et . On montre que l’hypothèse entraîne (TNP) quand et non quand , et que l’appartenance locale de à ou (mais non ) au voisinage de 0 entraîne (IT).
@article{AIF_1998__48_3_611_0, author = {Kahane, Jean-Pierre}, title = {Le r\^ole des alg\`ebres $A$ de {Wiener,} $A^\infty $ de {Beurling} et $H^1$ de {Sobolev} dans la th\'eorie des nombres premiers g\'en\'eralis\'es de {Beurling}}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {611--648}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {48}, number = {3}, year = {1998}, doi = {10.5802/aif.1632}, mrnumber = {99k:11152}, zbl = {0905.11043}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1632/} }
TY - JOUR AU - Kahane, Jean-Pierre TI - Le rôle des algèbres $A$ de Wiener, $A^\infty $ de Beurling et $H^1$ de Sobolev dans la théorie des nombres premiers généralisés de Beurling JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1998 SP - 611 EP - 648 VL - 48 IS - 3 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1632/ DO - 10.5802/aif.1632 LA - fr ID - AIF_1998__48_3_611_0 ER -
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Kahane, Jean-Pierre. Le rôle des algèbres $A$ de Wiener, $A^\infty $ de Beurling et $H^1$ de Sobolev dans la théorie des nombres premiers généralisés de Beurling. Annales de l'Institut Fourier, Volume 48 (1998) no. 3, pp. 611-648. doi : 10.5802/aif.1632. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1632/
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