Le rôle des algèbres A de Wiener, A de Beurling et H 1 de Sobolev dans la théorie des nombres premiers généralisés de Beurling
Annales de l'Institut Fourier, Volume 48 (1998) no. 3, pp. 611-648.

The theory of Beurling’s generalized prime numbers involves N(x), the counting function of the generalized integers, P(x), the counting function of the generalized prime numbers, and ζ(s), the related zeta function. Assumptions on (N(x) correspond to properties of ζ(s), which may or not imply the “prime number theorem” (PNT) P(x)x/ log x or the “Tchebycheff inequality” (TI) P(x)=O(x/ log x). The article studies the role of the function itζ(1+it), in relation with the algebras A=L 1 (),A =f sup y|x| | (f) (x) | L 1 ( + ,dy) et H 1 =L 2 (,(1+y 2 )dy). It is shown that the assumption itζ(1+it) exp (-2|t| α )H 1 implies (PNT) if α<2, but not when α=2, and that (TI) is implied by the fact that itζ(1+it) belongs locally to H 1 or A in a neighborhood of 0, but not by the corresponding assumption with A in place of H 1 or A .

La théorie des nombres premiers généralisés de Beurling fait intervenir N(x), la fonction de décompte des entiers généralisés, P(x), celle des nombres premiers généralisés, et ζ(s), la fonction dzeta adaptée. Les hypothèses sur N(x) se traduisent en propriétés de ζ(s), qui entraînent ou non le “théorème des nombres premiers” (TNP) P(x)x/ log x ou “ l’inégalité de Tchebycheff” (IT) P(x)=O(x/ log x). L’article est consacré au rôle de la fonction itζ(1+it), en relation avec les algèbres A=L 1 (),A =f sup y|x| | (f) (x) | L 1 ( + ,dy) et H 1 =L 2 (,(1+y 2 )dy). On montre que l’hypothèse itζ(1+it) exp (-2|t| α )H 1 entraîne (TNP) quand α<2 et non quand α=2, et que l’appartenance locale de itζ(1+it) à H 1 ou A (mais non A) au voisinage de 0 entraîne (IT).

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[1] P. T. Bateman, and H. G. Diamond, Asymptotic distribution of Beurling's generalized prime numbers, Studies in Number Theory, Math. Assoc. Amer. Studies vol. 6 (W. J. Leveque, ed.), 1969, 152-210. | MR | Zbl

[2] A. Beurling, Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers généralisés, Acta Math., 68 (1937), 255-291. | JFM | Zbl

[3] A. Beurling, Construction and analysis of some convolution algebras, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 14 (1964), 1-32. | Numdam | MR | Zbl

[4] H. G. Diamond, The prime number theorem for Beurling's generalized numbers, J. Number Theory, 1 (1969), 200-207. | MR | Zbl

[5] H. G. Diamond, A set of generalized numbers showing Beurling's theorem to be sharp, III. J. Math., 14 (1970), 29-34. | MR | Zbl

[6] H. G. Diamond, Chebyshev estimates for Beurling generalized prime numbers, Proc. Amer. Math. Soc., 39 (1973), 503-508. | MR | Zbl

[7] H. G. Diamond, Chebyshev type estimates in prime number theory, in Séminaire de théorie des nombres, Université de Bordeaux I, 1974-1975, exposé n° 24. | Zbl

[8] R. S. Hall, Beurling generalized prime number systems in which the Chebyshev inequalities fail, Proc. Amer. Math. Soc., 40 (1973), 79-82. | MR | Zbl

[9] J.-P. Kahane, A Fourier formula for prime numbers. Dedicated to the memory of Carl Herz, Canadian Math. Soc. Conference Proceedings, 21 (1997), 89-102. | MR | Zbl

[10] J.-P. Kahane, Sur les nombres généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond., J. Th. Nombres Bordeaux, 9 (1997), 251-266. | Numdam | MR | Zbl

[11] J.-P. Kahane, Le rôle de l'algèbre H1 de Sobolev dans la théorie des nombres premiers généralisés de Beurling, C. R. Acad. Sci. Paris, 324 (1997), 1117-1120. | MR | Zbl

[12] S. L. Sobolev, (Soboleff), Sur quelques évaluations concernant les familles de fonctions etc..., C. R. Acad. Sc. URSS (Doklady) I (X), N. 7 (84), 1936, p. 279 et III (XII), N. 1 (98), 1936, p. 107. | JFM | Zbl

[13] N. Wiener, Tauberian theorems, Ann. Math., 33 (1932), 1-100. | JFM | Zbl

[14] N. Wiener, The Fourier integral and certain of its applications, Cambridge Univ. Press, 1933. | Zbl

[15] Wen-Lin Zhang, Chebyshev estimates for Beurling generalized prime numbers, Proc. Amer. Math. Soc., 101 (1987), 205-212. | MR | Zbl

[16] A. Zygmund, Trigonometric series, II. Cambridge Univ. Press, 1959. | Zbl

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