Holonomie sans structure de Frobenius et critères d’holonomie
Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 4, pp. 1437-1454.

Ce travail s’inscrit dans le cadre de la théorie des 𝒟-modules arithmétiques de Berthelot. Nous définissons la notion de 𝒟-modules arithmétiques holonomes. Lorsque les modules sont munis d’une structure de Frobenius, nous retrouvons la définition d’holonomie de Berthelot. Nous vérifions que l’inégalité de Bernstein et le critère homologique d’holonomie de Virrion restent valables sans l’hypothèse d’une structure de Frobenius. Nous établissons qu’un 𝒟-module surcohérent (sans structure de Frobenius) devient 𝒪-cohérent sur un ouvert dense de son support. Il en résulte qu’un 𝒟-module cohérent est holonome si son dual est un complexe surcohérent. En particulier un 𝒟-module surholonome est holonome.

This work fits into Berthelot’s theory of arithmetic 𝒟-modules. We define the notion of holonomic arithmetic 𝒟-modules. When the modules are endowed with a Frobenius structure we recover Berthelot’s definition of holonomicity. We show that Bernstein’s inequality and Virrion’s criterion hold without the hypothesis of a Frobenius structure. We prove that an overcoherent 𝒟-module (without Frobenius structure) is 𝒪-coherent over a dense open set of its support. This implies that a coherent 𝒟-module whose dual is an overcoherent complex is holonomic. In particular, an overholonomic 𝒟-module is holonomic.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2645
Classification : 14F10,  14F30
Mots clés : holonomie,𝒟-modules arithmétiques
@article{AIF_2011__61_4_1437_0,
     author = {Caro, Daniel},
     title = {Holonomie sans structure de {Frobenius} et crit\`eres d{\textquoteright}holonomie},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1437--1454},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {61},
     number = {4},
     year = {2011},
     doi = {10.5802/aif.2645},
     mrnumber = {2951498},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2645/}
}
TY  - JOUR
AU  - Caro, Daniel
TI  - Holonomie sans structure de Frobenius et critères d’holonomie
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2011
DA  - 2011///
SP  - 1437
EP  - 1454
VL  - 61
IS  - 4
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2645/
UR  - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2951498
UR  - https://doi.org/10.5802/aif.2645
DO  - 10.5802/aif.2645
LA  - fr
ID  - AIF_2011__61_4_1437_0
ER  - 
Caro, Daniel. Holonomie sans structure de Frobenius et critères d’holonomie. Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 4, pp. 1437-1454. doi : 10.5802/aif.2645. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2645/

[1] Berthelot, Pierre Cohomologie rigide et théorie des 𝒟-modules, p -adic analysis (Trento, 1989) (Lecture Notes in Math.), Volume 1454, Springer, Berlin, 1990, pp. 80-124 | MR 1094848 | Zbl 0722.14008

[2] Berthelot, Pierre 𝒟-modules arithmétiques. I. Opérateurs différentiels de niveau fini, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 29 (1996) no. 2, pp. 185-272 | EuDML 82408 | Numdam | MR 1373933 | Zbl 0886.14004

[3] Berthelot, Pierre 𝒟-modules arithmétiques. II. Descente par Frobenius, Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) (2000) no. 81, pp. vi+136 | EuDML 94932 | Numdam | MR 1775613 | Zbl 0948.14017

[4] Berthelot, Pierre Introduction à la théorie arithmétique des 𝒟-modules, Astérisque (2002) no. 279, pp. 1-80 (Cohomologies p-adiques et applications arithmétiques, II) | MR 1922828 | Zbl 1098.14010

[5] Borel, A.; Grivel, P.-P.; Kaup, B.; Haefliger, A.; Malgrange, B.; Ehlers, F. Algebraic D -modules, Perspectives in Mathematics, 2, Academic Press Inc., Boston, MA, 1987 | MR 882000 | Zbl 0642.32001

[6] Bosch, S.; Güntzer, U.; Remmert, R. Non-Archimedean analysis, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 261, Springer-Verlag, Berlin, 1984 (A systematic approach to rigid analytic geometry) | MR 746961 | Zbl 0539.14017

[7] Caro, Daniel 𝒟-modules arithmétiques surcohérents. Application aux fonctions L, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 54 (2004) no. 6, pp. 1943-1996 | Article | EuDML 116165 | Numdam | MR 2134230 | Zbl 1129.14030

[8] Caro, Daniel Comparaison des foncteurs duaux des isocristaux surconvergents, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, Volume 114 (2005), pp. 131-211 | EuDML 108663 | Numdam | MR 2207865 | Zbl 1165.14305

[9] Caro, Daniel Dévissages des F-complexes de 𝒟-modules arithmétiques en F-isocristaux surconvergents, Invent. Math., Volume 166 (2006) no. 2, pp. 397-456 | Article | MR 2249804 | Zbl 1114.14011

[10] Caro, Daniel Fonctions L associées aux 𝒟-modules arithmétiques. Cas des courbes, Compos. Math., Volume 142 (2006) no. 1, pp. 169-206 | Article | MR 2197408 | Zbl 1167.14012

[11] Caro, Daniel F-isocristaux surconvergents et surcohérence différentielle, Invent. Math., Volume 170 (2007) no. 3, pp. 507-539 | Article | MR 2357501 | Zbl 1203.14025

[12] Caro, Daniel 𝒟-modules arithmétiques surholonomes, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Volume 42 (2009) no. 1, pp. 141-192 | Numdam | MR 2518895 | Zbl 1168.14013

[13] Caro, Daniel Une caractérisation de la surcohérence, J. Math. Sci. Univ. Tokyo, Volume 16 (2009) no. 1, pp. 1-21 | MR 2548931 | Zbl 1213.14041

[14] Noot-Huyghe, C. Finitude de la dimension homologique d’algèbres d’opérateurs différentiels faiblement complètes et à coefficients surconvergents, J. Algebra, Volume 307 (2007) no. 2, pp. 499-540 | Article | MR 2275360 | Zbl 1111.14006

[15] Virrion, Anne Dualité locale et holonomie pour les 𝒟-modules arithmétiques, Bull. Soc. Math. France, Volume 128 (2000) no. 1, pp. 1-68 | Numdam | MR 1765829 | Zbl 0955.14015

Cité par Sources :