A note on the ramification of torsion points lying on curves of genus at least two

Rössler, Damian

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 22 (2010) no. 2, pp. 475-481.

Let $C$ be a curve of genus $g\ge 2$ defined over the fraction field $K$ of a complete discrete valuation ring $R$ with algebraically closed residue field. Suppose that $char\left(K\right)=0$ and that the characteristic $p$ of the residue field is not $2$. Suppose that the Jacobian $Jac\left(C\right)$ has semi-stable reduction over $R$. Embed $C$ in $Jac\left(C\right)$ using a $K$-rational point. We show that the coordinates of the torsion points lying on $C$ lie in the unique tamely ramified quadratic extension of the field generated over $K$ by the coordinates of the $p$-torsion points on $Jac\left(C\right)$.

Soit $C$ une courbe de genre $g\ge 2$ définie sur le corps de fractions $K$ d’un anneau de valuation discret $R$ dont le corps résiduel est algébriquement clos. On suppose que $char\left(K\right)=0$ et que la caractéristique résiduelle $p$ de $R$ n’est pas $2$. On suppose aussi que la jacobienne $Jac\left(C\right)$ de $C$ a réduction semi-stable sur $R$. On plonge $C$ dans $Jac\left(C\right)$ via a un point $K$-rationnel. Nous montrons que les coordonnées des points de torsion de $Jac\left(C\right)$ qui se trouvent dans $C\left(\overline{K}\right)$ sont dans l’unique extension modérément ramifiée du corps engendré par les coordonnées des points de $p$-torsion de $Jac\left(C\right)$.

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