$R$-équivalence sur les familles de variétés rationnelles et méthode de la descente

Pirutka, Alena

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 24 (2012) no. 2, pp. 461-473.

La méthode de la descente a été introduite et développée par Colliot-Thélène et Sansuc. Elle permet d’étudier l’arithmétique de certaines variétés rationnelles. Dans ce texte on montre comment il en résulte que pour certaines familles $f:X\to Y$ de variétés rationnelles sur un corps local $k$ de caractéristique nulle le nombre des classes de $R$-équivalence de la fibre $X_y\left(k\right)$ est localement constant quand $y$ varie dans $Y\left(k\right)$.

Using the descent method of Colliot-Thélène and Sansuc, we prove that for some families $f:X\to Y$ of rational varieties defined over a local field $k$ of characteristic zero, the number of $R$-equivalence classes of the fibre $X_y\left(k\right)$ is a locally constant function on $Y\left(k\right)$.

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