Using the descent method of Colliot-Thélène and Sansuc, we prove that for some families of rational varieties defined over a local field of characteristic zero, the number of -equivalence classes of the fibre is a locally constant function on .
La méthode de la descente a été introduite et développée par Colliot-Thélène et Sansuc. Elle permet d’étudier l’arithmétique de certaines variétés rationnelles. Dans ce texte on montre comment il en résulte que pour certaines familles de variétés rationnelles sur un corps local de caractéristique nulle le nombre des classes de -équivalence de la fibre est localement constant quand varie dans .
@article{JTNB_2012__24_2_461_0, author = {Pirutka, Alena}, title = {$R$-\'equivalence sur les familles de vari\'et\'es rationnelles et m\'ethode de la descente}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {461--473}, publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux}, volume = {24}, number = {2}, year = {2012}, doi = {10.5802/jtnb.806}, zbl = {1272.14038}, mrnumber = {2950702}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.806/} }
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Pirutka, Alena. $R$-équivalence sur les familles de variétés rationnelles et méthode de la descente. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 24 (2012) no. 2, pp. 461-473. doi : 10.5802/jtnb.806. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.806/
[1] J.-L. Colliot-Thélène, Variétés presque rationnelles, leurs points rationnels et leurs dégénérescences. In « Arithmetic Algebraic Geometry, Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, Italy, September 10-15, 2007 », 1–44, Lecture Notes in Mathematics 2009. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2011. | MR
[2] J.-L. Colliot-Thélène, Résolutions flasques des groupes linéaires connexes. J. reine angew. Math. 618 (2008), 77–133. | MR
[3] J.-L. Colliot-Thélène et J.-J. Sansuc, La -équivalence sur les tores. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 10 (1977), no. 2, 175–229. | Numdam | MR | Zbl
[4] J.-L. Colliot-Thélène et J.-J. Sansuc, La descente sur les variétés rationnelles. Journées de géométrie algébrique d’Angers (Juillet 1979), édité par A.Beauville, Sijthof et Noordhof (1980), pp. 223–237. | Zbl
[5] J.-L. Colliot-Thélène et J.-J. Sansuc, La descente sur les variétés rationnelles II. Duke Math. J. 54 (1987), no. 2, 375–492. | MR | Zbl
[6] J.-L. Colliot-Thélène et A.N. Skorobogatov, R-equivalence on conic bundles of degree 4. Duke Math. J. 54 (1987), no. 2, 671–677. | MR | Zbl
[7] J.-L. Colliot-Thélène, D. Harari et A. N. Skorobogatov, Compactification équivariante d’un tore (d’après Brylinski et Künnemann). Expo. Math. 23 (2005), no. 2, 161–170. | MR
[8] O. Debarre, Higher-dimensional algebraic geometry. Springer-Verlag, 2001. | MR
[9] A. Grothendieck, Le groupe de Brauer, I, II, III. Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas. North-Holland, Amsterdam ; Masson, Paris 1968. | Zbl
[10] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. | MR | Zbl
[11] S. Kleiman, The Picard scheme. Fundamental algebraic geometry, 235–321, Math. Surveys Monogr., 123. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005. | MR
[12] J. Kollár, Rational curves on algebraic varieties. Springer-Verlag, Berlin, 1996. | MR | Zbl
[13] J. Kollár, Rationally connected varieties over local fields. Annals of Math. 150 (1999), no. 1, 357–367. | MR | Zbl
[14] J. Kollár, Specialization of zero-cycles. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 40 (2004), no. 3, 689–708. | MR
[15] Yu. I. Manin, Cubic forms : algebra, geometry, arithmetic. Izdat. “Nauka”, Moscow, 1972. | MR | Zbl
[16] J.S. Milne, Étale cohomology. Princeton Univ. Press, Princeton, 1980. | MR | Zbl
[17] L. Moret-Bailly, Un théorème de l’application ouverte sur les corps valués algébriquement clos. A paraître dans Mathematica Scandinavica, arXiv :1010.0341v3.
[18] L. Moret-Bailly, An extension of Greenberg’s theorem to general valuation rings. Manuscripta mathematica (2011).
[19] D. Mumford, Abelian varieties. Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, No. 5. Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay ; Oxford University Press, London 1970. | MR | Zbl
[20] J-P. Serre, Lie algebras and Lie groups. Lectures given at Harvard University in 1964, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1500. Springer-Verlag, Berlin, 2006. | MR | Zbl
[21] A.N. Skorobogatov, Torsors and rational points. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001. | MR
[22] C. Voisin, Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe. Cours spécialisés, 10. Société Mathématique de France, Paris, 2002. | MR
[23] V.E. Voskresenskiĭ, Algebraic groups and their birational invariants. Transl. Math. Monogr. 179. Amer. Math. Soc., 1998. | MR
[SGA1] A. Grothendieck et M. Raynaud, Revêtements étales et groupe fondamental. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1960–1961, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 224. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971.
[SGA3] M. Demazure et A. Grothendieck, Schémas en groupes. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie SGA 3, Lecture Notes in Math. 151, 152, 153. Springer, Berlin-Heildelberg-New York, 1977. | Zbl
[SGA6] P. Berthelot, A. Grothendieck et L. Illusie, Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch. Lect. Notes Math. 225. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1971. | MR
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