Harmonic morphisms between riemannian manifolds

Fuglede, Bent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 2, pp. 107-144.

Un morphisme harmonique $f:M\to N$ entre variétés riemanniennes $M$ et $N$ est par définition une application continue qui “remonte” les fonctions harmoniques. On suppose dim$M\ge$ dim$N$, puisque autrement tout morphisme harmonique est constant. On montre qu’un morphisme harmonique n’est autre qu’une application harmonique au sens de Eells et Sampson qui, en outre est semi-conforme, c’est-à-dire est une submersion conforme hors des points ou $df$ est nul. On montre que tout morphisme harmonique non constant est une application ouverte.

A harmonic morphism $f:M\to N$ between Riemannian manifolds $M$ and $N$ is by definition a continuous mappings which pulls back harmonic functions. It is assumed that dim$M\ge$ dim$N$, since otherwise every harmonic morphism is constant. It is shown that a harmonic morphism is the same as a harmonic mapping in the sense of Eells and Sampson with the further property of being semiconformal, that is, a conformal submersion of the points where $df$ vanishes. Every non-constant harmonic morphism is shown to be an open mapping.

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