Produits finis de commutateurs dans les C * -algèbres
Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 4, p. 169-202
Let A be a simple approximately finite dimensional C * -algebra with unit, let GL 1 (A) be the group of invertible elements and let U 1 (A) be that of unitaries in A. We have defined in a previous work a universal determinant Δ T of A, which is a homomorphism from GL 1 (A) onto an abelian group associated to A. We show here that in element x in GL 1 (A) or in U 1 (A) is a product of finitely many commutators if (and only if) x Ker (Δ T ). In particular, one may thus characterize the kernel of the canonical projection K 1 (A)K 1 top (A). Other results are established about stable C * -algebras and infinite simple C * -algebras with unit.
Soient A une C * -algèbre approximativement finie simple avec unité, GL 1 (A) le groupe des inversibles et U 1 (A) le groupe des unitaires de A. Nous avons défini dans un précédent travail un homomorphisme Δ T , appelé déterminant universel de A, de GL 1 (A) sur un groupe abélien associé à A. Nous montrons ici que, pour qu’un élément x dans GL 1 (A) ou dans U 1 (A) soit produit d’un nombre fini de commutateurs, il (faut et il) suffit que x Ker (Δ T ). Ceci permet en particulier d’identifier le noyau de la projection canonique K 1 (A)K 1 top (A). On établit aussi des résultats concernant les C * -algèbres stables et les C * -algèbres infinies simples avec unité.
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     author = {Harpe, Pierre De La and Skandalis, Georges},
     title = {Produits finis de commutateurs dans les $C^*$-alg\`ebres},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
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Harpe, Pierre De La; Skandalis, Georges. Produits finis de commutateurs dans les $C^*$-algèbres. Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 4, pp. 169-202. doi : 10.5802/aif.993. http://www.numdam.org/item/AIF_1984__34_4_169_0/

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