Autour du programme de Langlands local $p$-adique et modulo $p$

Autour du programme de Langlands local

p

-adique et modulo

p

Hu, Yongquan

Directeur de thèse : Breuil, Christophe

Membres du jury : Vignéras, Marie-France ; Breuil, Christophe ; Clozel, Laurent ; Paškūnas, Vytautas ; Sécherre, Vincent ; Tilouine, Jacques

Thèses d'Orsay, no. 775 (2009) , 122 p.

Résumé
Abstract

Soient $p$ un nombre premier et $F$ un corps local complet pour une valuation discrète de corps résiduel fini de caractéristique $p$ . Cette thèse s’inscrit dans le cadre du programme de Langlands local $p$ -adique et modulo $p$ , qui a été initié par Breuil. Elle consiste en trois chapitres. Nous supposons $F$ de caractéristique 0 au premier chapitre et F de caractéristique 0 non ramifié au troisième. Au premier chapitre, nous montrons une partie d'une conjecture de Breuil et Schneider sur l’existence de réseaux stables dans des représentations localement algébriques de ${GL}_{n} (F)$ . Au deuxième chapitre, à une représentation lisse irréductible de ${GL}_{2} (F)$ sur ${\bar{𝔽}}_{p}$ avec caractère central, nous associons canoniquement un diagramme qui détermine la classe d’isomorphisme de la représentation de départ. Au troisième chapitre, nous appliquons la construction du second chapitre aux représentations considérées par Breuil and Paskunas pour construire de nouvelles représentations supersingulières de ${GL}_{2} (F)$ .

Let $p$ be a prime and $F$ be a complete discrete valuation field with a finite residual field of characteristic $p$ . This thesis follows the $p$ -adic and modulo $p$ local Langlands program which has been proposed by Breuil. It consists of three chapters. Suppose moreover that $F$ is of characteristic 0 in the first chapter and $F$ unramified in the third. In the first chapter, we prove a part of a conjecture of Breuil and Schneider on the existence of stable lattices inside certain locally algebraic representations of ${GL}_{n} (F)$ . In the second chapter, to an irreducible smooth representation of ${GL}_{2} (F)$ over ${\bar{𝔽}}_{p}$ with a central character, we canonically associate a diagram which determines the isomorphism class of the original representation. In the third chapter, we use the construction of the second chapter to construct new supersingular representations of ${GL}_{2} (F)$ in the cases considered by Breuil and Paskunas.

Classification : 11F85, 22E50
Mot clés : norme invariante, représentation localement algébrique, représentation supersingulière, diagramme canonique, poids de Serre
Mots-clés : invariant norm, locally algebraic representation, supersingular represen tation, canonical diagram, Serre weight

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Hu, Yongquan. Autour du programme de Langlands local $p$-adique et modulo $p$. Thèses d'Orsay, no. 775 (2009), 122 p. http://numdam.org/item/BJHTUP11_2009__0775__P0_0/

Sommaire

Introduction	p. 1
Bibliographie	p. 7
I Normes invariantes et existence de filtrations admissibles	p. 9
1 Introduction	p. 9
2 Rappels et compléments sur la conjecture	p. 12
3 Énoncé du théorème principal	p. 18
4 Preuve de (iii) <=> (iv)	p. 22
5 Preuve de (iii) => (ii)	p. 25
Bibliographie	p. 42
II Diagrammes canoniques et représentations modulo $p$ de ${GL}_{2} (F)$	p. 45
1 Introduction	p. 45
2 Rappels et compléments	p. 48
3 Le diagramme canonique	p. 54
4 La condition de finitude	p. 67
5 Application : le cas $F = ℚ_{p}$	p. 70
III Sur quelques représentations supersingulières de ${GL}_{2} (ℚ_{p f})$	p. 77
1 Introduction	p. 77
2 Combinatoire de $K$ -représentations	p. 79
3 Combinatoire des diagrammes de Diamond génériques	p. 88
4 Construction de représentations supersingulières	p. 95
Bibliographie	p. 110

Bibliographie
Cité par

[BL1] L. Barthel & R. Livné, Modular représentations of $G L_{2}$ of a local field : unramified case, J. of Number Theory 55 (1995), 1-27. | Zbl | DOI

[BL2] L. Barthel & R. Livné, Irreducible modular représentations of ${GL}_{2}$ of a local field, Duke Math. J. 75 (1994), 261-292. | Zbl | DOI

[Br1] C. Breuil, Sur quelques représentations modulaires et $p$ -adiques de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ : I, Compositio Math. 138 (2003), 165-188. | MR | Zbl | DOI

[Br2] C. Breuil, Sur quelques représentations modulaires et $p$ -adiques de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ : II, J. Inst. Math. Jussieu 2 (2003), 1-36. | MR | Zbl | DOI

[Br3] C. Breuil, Invariant $ℒ$ et série spéciale $p$ -adique, Ann. Sci. E. N. S. 37 (2004), 559-610. | MR | Zbl | Numdam

[BP] C. Breuil & V. Paskunas, Towards a modulo $p$ Langlands correspondence for ${GL}_{2}$ , prépublication, 2007.

[BS] C. Breuil & P. Schneider, First steps towards $p$ -adic Langlands functoriality, J. Reine Angew. Math. 610 (2007), 149-180. | Zbl

[BDJ] K. Buzzard, F. Diamond & F. Jarvis, On Serre's conjecture for mod l Galois representations over totally real fields, prépublication, version 2008.

[Co] P. Colmez, Représentations de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ et $(φ, Γ)$ -modules, prépublication, 2008.

[CF] P. Colmez, & J.-M. Fontaine, Construction des représentations $p$ -adiques semi-stables, Invent. Math. 140 (2000), 1-43. | Zbl | DOI

[Em1] M. Emerton, p-adic L-functions and unitary completions of representations of p-adic reductive groups, Duke Math. J. 130 (2005), 353-392. | Zbl | DOI

[Em2] M. Emerton, Jacquet modules of locally analytic representations of p-adic reductive groups I. Construction and first properties, Ann. Sci. E. N. S. 39 (2006), no. 5, 775-839. | Zbl | Numdam

[Fo] J.-M. Fontaine, Représentations l-adiques potentiellement semi-stables, Astérisque 223, Soc. Math. de France, 1994, 321-347. | Zbl | Numdam

[Ge] T. Gee, On the weights of mod p Hilbert modular forms, prépublication, 2005.

[HT] M. Harris & R. Taylor, The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Annals of Math. Studies 151, Princeton Univ. Press, 2001. | Zbl

[He] G. Henniart, Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique, Invent. Math. 139 (2000), 439-455. | Zbl | DOI

[KW1] C. Khare & J.-P. Wintenberger, Serre's modularity conjecture (I), prépublication, 2006.

[KW2] C. Khare & J.-P. Wintenberger, Serre's modularity conjecture (II), prépublication, 2006.

[Ol] R. Ollivier, Le foncteur des invariants sous l'action du pro- $p$ -Iwahori de ${GL}_{2} (F)$ , prépublication, 2006.

[Pa] V. Paskunas, Extensions for supersingular representations of ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ , prépublication, 2007.

[Se] J.-P. Serre, Sur les représentations modulaires de degré 2 de $Gal (\bar{ℚ} / ℚ)$ , Duke Math. J. 54 (1987), 179-230. | MR | Zbl

[Vi1] M.-F. Vignéras, Correspondance de Langlands semi-simple pour ${GL}_{n} (F)$ modulo $ℓ \neq p$ , Invent. Math. 144 (2001), 177-223. | MR | Zbl | DOI

[Vi2] M.-F. Vignéras, Representations modulo $p$ of the $p$ -adic group ${GL}_{2} (F)$ , Compositio Math. 140 (2004), 333-358. | MR | Zbl | DOI

[BB] L. Berger & C. Breuil, Sur quelques représentations potentiellement cristallines de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ , à paraître dans Astérisque. | Zbl | Numdam

[BM] C. Breuil & A. Mézard, Multiplicités modulaires et représentations de ${GL}_{2} (ℤ_{p})$ et de $Gal ({\bar{ℚ}}_{p} / ℚ_{p})$ en $ℓ = p$ , Duke Math. J. 115 (2002), 205-310. | MR | Zbl

[BS] C. Breuil & P. Schneider, First steps towards p-adic Langlands functoriality, J. Reine Angew. Math. 610 (2007), 149-180. | Zbl

[Ca] W. Casselman, Introduction to the theory of admissible representations of p-adic reductive groups, prépublication, 1995.

[Cl] L. Clozel, Motifs et formes automorphes : applications du principe de functorialité, Perspectives in Math. 10, Academic Press, 1990, 77-159. | Zbl

[Co] P. Colmez, Une correspondance de Langlands locale p-adique pour les représentations semi-stables de dimension 2, prépublication, 2006.

[De] P. Deligne, Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions L, Lecture Notes in Math. 349, Springer-Verlag, 1973, 501-597. | Zbl

[Em1] M. Emerton, Locally analytic vectors in representations of locally p-adic analytic groups, à paraître dans Memoirs of the AMS.

[Em2] M. Emerton, p-adic L-functions and unitary completions of representations of p-adic reductive groups, Duke Math. J. 130 (2005), no. 2, 353-392. | Zbl | DOI

[Em3] M. Emerton, Jacquet modules of locally analytic representations of $p$ -adic reductive groups I. Construction and first properties, Ann. Sci. E. N. S. 39 (2006), no. 5, 775-839. | Zbl | Numdam

[Fo1] J.-M. Fontaine, Représentations $p$ -adiques semi-stables, Astérisque 223, Soc. Math. de France, 1994, 113-184. | MR | Zbl | Numdam

[Fo2] J.-M. Fontaine, Représentations l-adiques potentiellement semi-stables, Astérisque 223, Soc. Math. de France, 1994, 321-347. | Zbl | Numdam

[Ku] S. Kudla, The local Langlands correspondence : the non-Archimedean case, Proc. Symp. Pure Math. 55, Amer. Math. Soc., 1994, 365-410. | Zbl | DOI

[NH] G. Harder & M.S. Narasimhan, On the cohomology groups of moduli spaces of vector bundles on curves, Math. Ann. 212 (1975), 215-248. | Zbl | DOI

[ST] P. Schneider & J. Teitelbaum, Banach-Hecke algebras and $p$ -adic Galois representations, Docum. Math., The Book Series 4 (J. Coates' Sixtieth Birthday), 2006, 631-684. | Zbl

[Vi] M.-F. Vignéras, Représentations $l$ -modulaires d'un groupe réductif $p$ -adique avec $l \neq p$ Prog. in Math., vol. 137, Birkhäuser, 1996. | Zbl

[Ze] A. Zelevinsky, Induced representations of reductive $p$ -adic groups II, Ann. Sci. E. N. S. 13 (1980), 165-210. | MR | Zbl | Numdam

[Al] J.L. Alperin, Local representation theory, Cambridge studies in advanced mathematics 11, 1986. | Zbl

[AJL] H. Andresen & J. Jorhensen & P. Landrock, The projective indecomposable modules of $SL (2, p^{n})$ , Proc. London Math. Soc. 46 (1983), 38-52. | Zbl | DOI

[BL1] L. Barthel & R. Livné, Modular representations of $G L_{2}$ of a local field : unramified case, J. of Number Theory 55 (1995), 1-27. | MR | Zbl | DOI

[BL2] L. Barthel & R. Livné, Irreducible modular representations of ${GL}_{2}$ of a local field, Duke Math. J. 75 (1994), 261-292. | MR | Zbl | DOI

[Br1] C. Breuil, Sur quelques représentations modulaires et p-adiques de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ : I, Compositio Math. 138 (2003), 165-188. | Zbl | DOI

[Br2] C. Breuil, Representations of Galois and of ${GL}_{2}$ in characteristic p, Cours à l'Université Columbia, 2007.

[BP] C. Breuil & V. Paskunas, Towards a modulo $p$ Langlands correspondence for ${GL}_{2}$ , prépublication, 2007.

[BDJ] K. Buzzard, F. Diamond & F. Jarvis, On Serre's conjecture for mod l Galois representations over totally real fields, prépublication, 2005.

[Co] P. Colmez, Représentations de ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ et $(φ, Γ)$ -modules, prépublication, 2008.

[Di] F. Diamond, A correspondence between representations of local Galois groups and Lie-type groups, $L$ -functions and Galois representations, LMS Lectures Notes 320, Cambridge University Press (2007), 187-206. | Zbl

[Je] A.V. Jeyakumar, Principal indecomposable representations for the group $SL (2, q)$ , J. Algebra 30 (1974), 444-458. | MR | Zbl | DOI

[Ol] R. Ollivier, Le foncteur des invariants sous l'action du pro-p-Iwahori de ${GL}_{2} (F)$ , prépublication, 2006.

[Pa1] V. Paskunas, Coefficient systems and supersingular representations of ${GL}_{2} (F)$ , Mém. Soc. Math, de France 99, 2004. | MR | Zbl | Numdam

[Pa2] V. Paskunas, Extensions for supersingular representations of ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ , prépublication, 2007.

[Pa3] V. Paskunas, On the restriction of representations of ${GL}_{2} (F)$ to a Borel subgroup, Compositio Math. 143 (2007), 1533-1544. | MR | Zbl | DOI

[Pa4] V. Paskunas, Admissible unitary completions of locally $ℚ_{p}$ -rational representations of ${GL}_{2} (F)$ , prépublication, 2008.

[Se1] J.-P. Serre, Propriétés galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques, Invent. Math. 15 (1972), 259-331. | Zbl | DOI

[Se2] J.-P. Serre, Arbres, amalgames, ${SL}_{2}$ , Astérisque 46, Soc. Math. de France, 1983. | MR | Zbl | Numdam

[Se3] J.-P. Serre, Corps locaux, 3^ième édition, Hermann, 1968.

[Se4] J.-P. Serre, Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics 5, Springer, 1997.

[Vi] M.-F. Vignéras, Admissibilité des représentations p-adiques et lemme de Nakayama, Prépublication, 2007.