Autour du programme de Langlands local $p$-adique et modulo $p$

Autour du programme de Langlands local

p

-adique et modulo

p

Hu, Yongquan

Directeur de thèse : Breuil, Christophe

Membres du jury : Vignéras, Marie-France ; Breuil, Christophe ; Clozel, Laurent ; Paškūnas, Vytautas ; Sécherre, Vincent ; Tilouine, Jacques

Thèses d'Orsay, no. 775 (2009) , 122 p.

Résumé
Abstract

Soient $p$ un nombre premier et $F$ un corps local complet pour une valuation discrète de corps résiduel fini de caractéristique $p$ . Cette thèse s’inscrit dans le cadre du programme de Langlands local $p$ -adique et modulo $p$ , qui a été initié par Breuil. Elle consiste en trois chapitres. Nous supposons $F$ de caractéristique 0 au premier chapitre et F de caractéristique 0 non ramifié au troisième. Au premier chapitre, nous montrons une partie d'une conjecture de Breuil et Schneider sur l’existence de réseaux stables dans des représentations localement algébriques de ${GL}_{n} (F)$ . Au deuxième chapitre, à une représentation lisse irréductible de ${GL}_{2} (F)$ sur ${\bar{𝔽}}_{p}$ avec caractère central, nous associons canoniquement un diagramme qui détermine la classe d’isomorphisme de la représentation de départ. Au troisième chapitre, nous appliquons la construction du second chapitre aux représentations considérées par Breuil and Paskunas pour construire de nouvelles représentations supersingulières de ${GL}_{2} (F)$ .

Let $p$ be a prime and $F$ be a complete discrete valuation field with a finite residual field of characteristic $p$ . This thesis follows the $p$ -adic and modulo $p$ local Langlands program which has been proposed by Breuil. It consists of three chapters. Suppose moreover that $F$ is of characteristic 0 in the first chapter and $F$ unramified in the third. In the first chapter, we prove a part of a conjecture of Breuil and Schneider on the existence of stable lattices inside certain locally algebraic representations of ${GL}_{n} (F)$ . In the second chapter, to an irreducible smooth representation of ${GL}_{2} (F)$ over ${\bar{𝔽}}_{p}$ with a central character, we canonically associate a diagram which determines the isomorphism class of the original representation. In the third chapter, we use the construction of the second chapter to construct new supersingular representations of ${GL}_{2} (F)$ in the cases considered by Breuil and Paskunas.

Classification : 11F85, 22E50
Mot clés : norme invariante, représentation localement algébrique, représentation supersingulière, diagramme canonique, poids de Serre
Mots-clés : invariant norm, locally algebraic representation, supersingular represen tation, canonical diagram, Serre weight

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Hu, Yongquan. Autour du programme de Langlands local $p$-adique et modulo $p$. Thèses d'Orsay, no. 775 (2009), 122 p. http://numdam.org/item/BJHTUP11_2009__0775__P0_0/

Sommaire

Introduction	p. 1
Bibliographie	p. 7
I Normes invariantes et existence de filtrations admissibles	p. 9
1 Introduction	p. 9
2 Rappels et compléments sur la conjecture	p. 12
3 Énoncé du théorème principal	p. 18
4 Preuve de (iii) <=> (iv)	p. 22
5 Preuve de (iii) => (ii)	p. 25
Bibliographie	p. 42
II Diagrammes canoniques et représentations modulo $p$ de ${GL}_{2} (F)$	p. 45
1 Introduction	p. 45
2 Rappels et compléments	p. 48
3 Le diagramme canonique	p. 54
4 La condition de finitude	p. 67
5 Application : le cas $F = ℚ_{p}$	p. 70
III Sur quelques représentations supersingulières de ${GL}_{2} (ℚ_{p f})$	p. 77
1 Introduction	p. 77
2 Combinatoire de $K$ -représentations	p. 79
3 Combinatoire des diagrammes de Diamond génériques	p. 88
4 Construction de représentations supersingulières	p. 95
Bibliographie	p. 110

Bibliographie
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