Sur le groupe des classes d'un schéma arithmétique

Kahn, Bruno

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 3, pp. 395-415.

Nous donnons une démonstration du fait que le groupe des classes d’un schéma irréductible de type fini sur $Spec𝐙$ est de type fini. Cette preuve ne repose pas sur le théorème de Mordell-Weil-Néron, mais plutôt sur le théorème de Mordell-Weil classique, le théorème de Néron-Severi et les théorèmes de Hironaka et de Jong sur la résolution des singularités. Nous en déduisons quelques corollaires, parmi lesquels le théorème de Mordell-Weil-Néron lui-même.

We present a proof that the class group of an irreducible scheme of finite type over $Spec𝐙$ is finitely generated. This proof does not rely on the Mordell-Weil-Néron theorem but rather on the classical Mordell-Weil theorem, the Néron-Severi theorem and Hironaka and de Jong’s theorems on resolution of singularities. We derive some corollaries, including the Mordell-Weil-Néron theorem itself.

[1] P. Berthelot, A. Grothendieck & L. Illusie et al. - « Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie (SGA6) : Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch », Lecture Notes in Math., vol. 225, Springer, 1971. | MR | Zbl

[2] S. Bosch, W. Lütkebohmert & M. Raynaud - Néron models, Springer, 1990. | MR | Zbl

[3] N. Bourbaki - Éléments de mathématique, Algèbre, Ch.V, Masson, 1981. | Zbl

[4] W. L. Chow - « Abstract theory of the Picard and Albanese varieties », manuscrit non publié (1955/56).

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[26] D. Mumford - Geometric Invariant Theory, Springer-Verlag, 1965. | MR | Zbl

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[31] P. Samuel - Méthodes d'algèbre abstraite en géométrie algébrique, Springer-Verlag, 1955. | MR | Zbl

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