An arithmetic analogue of Clifford's theorem
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 13 (2001) no. 1, p. 143-156

Number fields can be viewed as analogues of curves over fields. Here we use metrized line bundles as analogues of divisors on curves. Van der Geer and Schoof gave a definition of a function h 0 on metrized line bundles that resembles properties of the dimension l(D) of H 0 (X,(D)), where D is a divisor on a curve X. In particular, they get a direct analogue of the Rieman-Roch theorem. For three theorems of curves, notably Clifford’s theorem, we will propose arithmetic analogues.

Nous considérons ici certains fibrés en droites métriques comme analogues des diviseurs sur les courbes. Van der Geer et Schoof ont défini une fonction h 0 sur les fibrés métriques dont les propriétés ressemblent à celles de la dimension de H 0 (X,(D)), où D désigne un diviseur sur la courbe X. Ils obtiennent en particulier un analogue du théorème de Riemann-Roch. Nous proposons des analogues arithmétiques de trois théorèmes sur les courbes, notamment du théorème de Clifford.

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Groenewegen, Richard P. An arithmetic analogue of Clifford's theorem. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 13 (2001) no. 1, pp. 143-156. http://www.numdam.org/item/JTNB_2001__13_1_143_0/

[1] P. Francini, The function h° for quadratic number fields. These proceedings.

[2] W. Fulton, Algebraic Curves. Addison Wesley, 1989. | MR 1042981 | Zbl 0681.14011

[3] G. Van Der Geer, R. Schoof, Effectivity of Arakelov Divisors and the Theta Divisor of a Number Field. Preprint 1999, version 3. URL: "http://xxx.lanl.gov/abs/math/9802121" . | MR 1847381

[4] R. Hartshorne, Algebraic Geometry. Springer-Verlag, 1977. | MR 463157 | Zbl 0367.14001

[5] J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 1992. | Zbl 0747.11001