[Base change and automorphic induction for in positive characteristic]
Let be a finite cyclic extension of local or global fields, of degree . The theory of base change from to and the theory of automorphic induction from to are two instances of Langlands’ functoriality principle: when is local, they correspond respectively to restriction to of representations of the Weil-Deligne group of , and induction to of representations of the Weil-Deligne group of . If is a finite extension of a -adic field , these theories were established long ago (Arthur-Clozel, Henniart-Herb). In this memoir we extend them to the case where is a non-Archimedean locally compact field of positive characteristic. We also prove, for a global functions field , that these two local theories are compatible with the global maps of base change and automorphic induction deduced, via the Langlands correspondence proved by Lafforgue, from restriction and induction of global Galois representations.
Soit une extension cyclique de corps (commutatifs) locaux ou globaux, de degré fini . La théorie du changement de base de à et celle de l’induction automorphe de à sont deux illustrations du principe de fonctorialité de Langlands : pour local, elles correspondent côté galoisien à la restriction des représentations de à et à l’induction des représentations de à , où désigne le groupe Weil-Deligne de , celui de . Si est une extension finie d’un corps -adique , ces deux théories existent depuis longtemps (Arthur-Clozel, Henniart-Herb). On les étend dans ce mémoire au cas où est un corps localement compact non archimédien de caractéristique non nulle. On montre aussi, pour un corps global de fonctions , que ces deux théories locales sont compatibles aux applications globales de changement de base et d’induction automorphe déduites, via la correspondance de Langlands établie par Lafforgue, de la restriction et de l’induction des représentations galoisiennes globales.
Mot clés : corps local non archimédien, caractéristique non nulle, groupe linéaire, représentation admissible, correspondance de Langlands locale, changement de base local, induction automorphe locale, algèbre de Hecke sphérique, isomorphisme de Satake, extension non ramifiée, lemme fondamental pour le changement de base (resp. pour l’induction automorphe), $\sigma $-intégrale orbitale, caractère $\sigma $-tordu, représentation $\sigma $-discrète, fonction élémentaire, application norme, identité « à la Shintani », $\kappa $-intégrale orbitale, caractère $\kappa $-tordu, représentation $\kappa $-discrète, facteur de transfert, identité de caractères, modèle de Whittaker, corps de fonctions, représentation automorphe, groupe de Weil, correspondance de Langlands globale, changement de base global, induction automorphe globale.
Keywords: non-Archimedean local field, positive characteristic, linear group, admissible representation, local Langlands correspondence, local base change, local automorphic induction, spherical Hecke algebra, Satake isomorphism, unramified extension, fundamental lemma for base change (resp. for automorphic induction), $\sigma $-orbital integral, $\sigma $-twisted character, $\sigma $-discrete series, elementary function, norm map, « à la Shintani » identity, $\kappa $-orbital integral, $\kappa $-twisted character, $\kappa $-discrete series, transfer factor, characters identity, Whittaker model, functions field, automorphic representation, Weil group, global Langlands correspondence, global base change, global automorphic induction.
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Henniart, Guy; Lemaire, Bertrand. Changement de base et induction automorphe pour ${\rm GL}_n$ en caractéristique non nulle. Mémoires de la Société Mathématique de France, Serie 2, no. 124 (2011), 196 p. doi : 10.24033/msmf.436. http://numdam.org/item/MSMF_2011_2_124__1_0/
[1] Simple algebras, base change, and the advanced theory of the trace formula, Annals of Math. Studies, vol. 120, Princeton Univ. Press, 1989. | MR | Zbl
& –[2] « Orthogonalité des caractères pour sur un corps local de caractéristique non nulle », Manuscripta Math. 101 (2000), p. 49–70. | MR
–[3] —, « Correspondance de Jacquet-Langlands pour les corps locaux de caractéristique non nulle », Ann. Sci. École Norm. Sup. 35 (2002), p. 695–747. | MR | EuDML
[4] « Sur le dual unitaire de », Amer. J. Math. 132 (2010), p. 1365–1396. | MR | Zbl
, , & –[5] « Le “centre” de Bernstein », in Representations of reductive groups over a local field, Travaux en Cours, Hermann, 1984, p. 1–32. | MR
–[6] —, « -invariant distributions on and the classification of unitary representations of (non-Archimedean case) », in Lie group representations, II (College Park, Md., 1982/1983), Lecture Notes in Math., vol. 1041, Springer, 1984, p. 50–102. | MR
[7] « Induced representations of reductive -adic groups. I », Ann. Sci. École Norm. Sup. 10 (1977), p. 441–472. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
& –[8] « Automorphic forms and automorphic representations », in Automorphic forms, representations and -functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 1, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., 1979, p. 189–207. | MR | Zbl
& –[9] Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations of reductive groups, second éd., Mathematical Surveys and Monographs, vol. 67, Amer. Math. Soc., 2000. | MR | Zbl
& –[10] « Local tame lifting for . I. Simple characters », Publ. Math. I.H.É.S. 83 (1996), p. 105–233. | EuDML | Zbl | Numdam
& –[11] —, « The essentially tame local Langlands correspondence. I », J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), p. 685–710, « II : Totally ramified representations », Compos. Math. 141 (2005), p. 879–1011, « III : The general case », Proc. London Math. Soc. 101 (2010), p. 497–553. | Zbl
[12] —, « Local tame lifting for . III. Explicit base change and Jacquet-Langlands correspondence », J. reine angew. Math. 580 (2005), p. 39–100. | MR | Zbl
[13] —, The local Langlands conjecture for , Grund. Math. Wiss., vol. 335, Springer, 2006.
[14] « Correspondance de Langlands locale pour et conducteurs de paires », Ann. Sci. École Norm. Sup. 31 (1998), p. 537–560. | MR | EuDML
, & –[15] « Representations of -adic groups : a survey », in Automorphic forms, representations and -functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 1, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., 1979, p. 111–155. | MR | Zbl
–[16] « Characters and Jacquet modules », Math. Ann. 230 (1977), p. 101–105. | MR | EuDML | Zbl
–[17] —, « The unramified principal series of -adic groups. I. The spherical function », Compositio Math. 40 (1980), p. 387–406. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
[18] « Théorème d’Atiyah-Bott pour les variétés -adiques et caractères des groupes réductifs », Mém. Soc. Math. France (N.S.) 15 (1984), p. 39–64. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
–[19] —, « The fundamental lemma for stable base change », Duke Math. J. 61 (1990), p. 255–302. | MR | Zbl
[20] —, « Invariant harmonic analysis on the Schwartz space of a reductive -adic group », in Harmonic analysis on reductive groups (Brunswick, ME, 1989), Progr. Math., vol. 101, Birkhäuser, 1991, p. 101–121. | MR | Zbl
[21] « Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions », in Modular functions of one variable, II (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972), Springer, 1973, p. 501–597. Lecture Notes in Math., Vol. 349. | MR
–[22] « Computation of certain induced characters of -adic groups », Math. Ann. 199 (1972), p. 229–240. | MR | EuDML | Zbl
–[23] « Cohomology of compactified moduli varieties of -sheaves of rank », J. Soviet Math. 46 (1989), p. 1789–1821. | MR
–[24] « A comparison of the automorphic representations of and its twisted forms », Pacific J. Math. 97 (1981), p. 373–402. | MR | Zbl
–[25] « Regular trace formula and base change for », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 40 (1990), p. 1–30. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
–[26] Zeta functions of simple algebras, Lecture Notes in Math., vol. 260, Springer, 1972. | MR | Zbl
& –[27] Harish-Chandra – « Discrete series for semisimple Lie groups. II. Explicit determination of the characters », Acta Math. 116 (1966), p. 1–111. | MR
[28] —, Harmonic analysis on reductive -adic groups, Lecture Notes in Math., vol. 162, Springer, 1970.
[29] —, « Admissible invariant distributions on reductive -adic groups », in Lie theories and their applications (Proc. Ann. Sem. Canad. Math. Congr., Queen’s Univ., Kingston, Ont., 1977), Queen’s Univ., 1978, p. 281–347. Queen’s Papers in Pure Appl. Math., No. 48.
[30] —, « A submersion principle and its applications », in Geometry and analysis, Indian Acad. Sci., 1980, p. 95–102. | Zbl
[31] The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Annals of Math. Studies, vol. 151, Princeton Univ. Press, 2001. | MR | Zbl
& –[32] « La conjecture de Langlands locale pour », Mém. Soc. Math. France (N.S.) 11-12 (1984). | MR | EuDML
–[33] —, « On the local Langlands conjecture for : the cyclic case », Ann. of Math. 123 (1986), p. 145–203. | MR | Zbl
[34] —, « Correspondance de Langlands-Kazhdan explicite dans le cas non ramifié », Math. Nachr. 158 (1992), p. 7–26. | MR
[35] —, « Caractérisation de la correspondance de Langlands locale par les facteurs de paires », Invent. Math. 113 (1993), p. 339–350. | MR | EuDML
[36] —, « Une preuve simple des conjectures de Langlands pour sur un corps -adique », Invent. Math. 139 (2000), p. 439–455. | MR
[37] —, « Une caractérisation de la correspondance de Langlands locale pour », Bull. Soc. Math. France 130 (2002), p. 587–602. | MR | EuDML | Numdam
[38] « Automorphic induction for (over local non-Archimedean fields) », Duke Math. J. 78 (1995), p. 131–192. | MR | Zbl
& –[39] « Intégrales orbitales tordues sur et corps locaux proches : applications », Canad. J. Math. 58 (2006), p. 1229–1267. | MR
& –[40] —, « Formules de caractères pour l’induction automorphe », J. reine angew. Math. 645 (2010), p. 41–84. | MR
[41] —, « Pseudo-coefficients des séries -discrètes de », Israel J. Math. 177 (2010), p. 189–227. | MR
[42] « On -packets for inner forms of », manuscrit, 2007.
& –[43] Automorphic forms on , Lecture Notes in Math., vol. 114, Springer, 1970. | MR | Zbl
& –[44] « Rankin-Selberg convolutions », Amer. J. Math. 105 (1983), p. 367–464. | MR | Zbl
, & –[45] « On Euler products and the classification of automorphic forms. II », Amer. J. Math. 103 (1981), p. 777–815. | MR | Zbl
& –[46] —, « The Whittaker models of induced representations », Pacific J. Math. 109 (1983), p. 107–120. | MR | Zbl
[47] « Orbital integrals on », Amer. J. Math. 102 (1980), p. 327–384. | MR | Zbl
–[48] —, « Rational conjugacy classes in reductive groups », Duke Math. J. 49 (1982), p. 785–806. | MR | Zbl
[49] —, « Base change for unit elements of Hecke algebras », Compositio Math. 60 (1986), p. 237–250. | MR | EuDML | Numdam
[50] « Fonctions élémentaires et lemme fondamental pour le changement de base stable », Duke Math. J. 61 (1990), p. 519–530. | MR | Zbl
–[51] —, « Noninvariant base change identities », Mém. Soc. Math. France (N.S.) 61 (1995). | EuDML | Zbl | Numdam
[52] —, « Stable twisted trace formula : elliptic terms », J. Inst. Math. Jussieu 3 (2004), p. 473–530. | MR | Zbl
[53] « -indistinguishability for », Canad. J. Math. 31 (1979), p. 726–785. | MR | Zbl
& –[54] « Chtoucas de Drinfeld et conjecture de Ramanujan-Petersson », Astérisque 243 (1997). | MR
–[55] —, « Chtoucas de Drinfeld et correspondance de Langlands », Invent. Math. 147 (2002), p. 1–241. | MR
[56] « On the notion of an automorphic representation », Proc. Symp. Pure Math. 33 (1977), p. 203–208. | MR
–[57] Cohomology of Drinfeld modular varieties. Part I, Cambridge Studies in Advanced Math., vol. 41, Cambridge Univ. Press, 1996. | MR | Zbl
–[58] « -elliptic sheaves and the Langlands correspondence », Invent. Math. 113 (1993), p. 217–338. | MR | EuDML | Zbl
, & –[59] « Intégrabilité locale des caractères-distributions de où est un corps local non-archimédien de caractéristique quelconque », Compositio Math. 100 (1996), p. 41–75. | MR | EuDML | Numdam
–[60] —, « Intégrabilité locale des caractères tordus de », J. reine angew. Math. 566 (2004), p. 1–39. | MR
[61] —, « Intégrabilité locale des caractères de », Pacific J. Math. 222 (2005), p. 69–131. | MR
[62] —, « Caractères tordus des représentations admissibles », preprint arXiv :1007.3576.
[63] Topological transformation groups, Interscience Publishers, New York-London, 1955. | MR | JFM
& –[64] « -chtoucas de Drinfeld à modifications symétriques et identité de changement de base », Ann. Sci. École Norm. Sup. 39 (2006), p. 197–243. | MR | EuDML | Numdam
–[65] « Whittaker models for admissible representations of reductive -adic split groups », in Harmonic analysis on homogeneous spaces (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVI, Williams Coll., Williamstown, Mass., 1972), Amer. Math. Soc., 1973, p. 425–430. | MR
–[66] —, « Représentations de où est un corps -adique », in Bourbaki Seminar, Vol. 1981/1982, Astérisque, vol. 92, Soc. Math. France, 1982, p. 201–218.
[67] « Trace Paley-Wiener theorem in the twisted case », Trans. Amer. Math. Soc. 309 (1988), p. 215–229. | MR | Zbl
–[68] « On certain -functions », Amer. J. Math. 103 (1981), p. 297–355. | MR | Zbl
–[69] —, « Fourier transforms of intertwining operators and Plancherel measures for », Amer. J. Math. 106 (1984), p. 67–111. | MR | Zbl
[70] « The multiplicity one theorem for », Ann. of Math. 100 (1974), p. 171–193. | MR | Zbl
–[71] « Classification of unitary representations in irreducible representations of general linear group (non-Archimedean case) », Ann. Sci. École Norm. Sup. 19 (1986), p. 335–382. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
–[72] « Number theoretic background », in Automorphic forms, representations and -functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., 1979, p. 3–26. | MR | Zbl
–[73] « Sur les intégrales orbitales tordues pour les groupes linéaires : un lemme fondamental », Canad. J. Math. 43 (1991), p. 852–896. | MR | Zbl
–[74] —, « Endoscopie et changement de caractéristique », J. Inst. Math. Jussieu 5 (2006), p. 423–525. | MR
[75] « Induced representations of reductive -adic groups. II. On irreducible representations of », Ann. Sci. École Norm. Sup. 13 (1980), p. 165–210. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
–Cited by Sources: