Locally analytic vectors of unitary principal series of ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$

Liu, Ruochuan; Xie, Bingyong; Zhang, Yuancao

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 45 (2012) no. 1, pp. 167-190.

La correspondance de Langlands locale $p$-adique pour ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$ associe à toute représentation irréductible $p$-adique $V$ de dimension $2$ de $G_{{\mathbb{Q}}_p}$ une représentation admissible unitaire $\Pi \left(V\right)$ de ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$. Les séries principales unitaires de ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$ sont les $\Pi \left(V\right)$ correspondant aux représentations triangulines. Dans le présent article, en utilisant la machinerie de Colmez, on détermine l’espace des vecteurs localement analytiques $\Pi {\left(V\right)}_{\mathrm{an}}$ pour toute série principale unitaire non-exceptionnelle $\Pi \left(V\right)$ de ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$, et on démontre ainsi une conjecture d’Emerton.

The $p$-adic local Langlands correspondence for ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$ attaches to any $2$-dimensional irreducible $p$-adic representation $V$ of $G_{{\mathbb{Q}}_p}$ an admissible unitary representation $\Pi \left(V\right)$ of ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$. The unitary principal series of ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$ are those $\Pi \left(V\right)$ corresponding to trianguline representations. In this article, for $p>2$, using the machinery of Colmez, we determine the space of locally analytic vectors $\Pi {\left(V\right)}_{\mathrm{an}}$ for all non-exceptional unitary principal series $\Pi \left(V\right)$ of ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$ by proving a conjecture of Emerton.

Classification : 11F70, 11F80, 11F85, 22E35, 22E50
Keywords: $p$-adic local Langlands correspondence, $(\varphi ,\gamma )$-modules, trianguline representations, unitary principal series, locally analytic vectors
Mot clés : correspondance de Langlands locale $p$-adique, $(\varphi ,\gamma )$-modules, repréresentations triangulines, séries principales unitaires, vecteurs localement analytiques

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