Classification analytique de structures de Poisson
[Analytic classification of Poisson structures]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 137 (2009) no. 3, pp. 321-386.

Our study deals with some singular Poisson structures, holomorphic near 0 n and admitting a polynomial normal form, i.e. a finite number of formal invariants. Their normalizing series generally diverge. We show the existence of normalizing transformations, holomorphic on some sectorial domains a< arg x R <b, where x R denotes a monomial associated to the problem. Follows an analytic classification.

Notre étude porte sur une catégorie de structures de Poisson singulières holomorphes au voisinage de 0 n et admettant une forme normale formelle polynomiale i.e. un nombre fini d’invariants formels. Les séries normalisantes sont divergentes en général. On montre l’existence de transformations normalisantes holomorphes sur des domaines sectoriels de la forme a< arg x R <b, où x R est un monôme associé au problème. Il suit une classification analytique.

DOI: 10.24033/bsmf.2578
Classification: 58D27, 34M40, 40A05, 53D17, 32S99
Mot clés : phénomène de Stokes, singularités, sommabilité, formes normales, structures de Poisson
Keywords: Stokes phenomenon, singularities, summability, normal forms, Poisson structures
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Lohrmann, Philipp. Classification analytique de structures de Poisson. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 137 (2009) no. 3, pp. 321-386. doi : 10.24033/bsmf.2578. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2578/

[1] V. I. ArnolʼD - Mathematical methods of classical mechanics, second éd., Graduate Texts in Math., vol. 60, Springer, 1989. | MR | Zbl

[2] B. Braaksma & L. Stolovitch - « Small divisors and large multipliers », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 57 (2007), p. 603-628. | Numdam | MR | Zbl

[3] M. Chaperon - « Géométrie différentielle et singularités de systèmes dynamiques », Astérisque 138-139 (1986). | Numdam | Zbl

[4] J. F. Conn - « Normal forms for analytic Poisson structures », Ann. of Math. 119 (1984), p. 577-601. | MR | Zbl

[5] J.-P. Dufour & A. Wade - « Formes normales de structures de Poisson ayant un 1-jet nul en un point », J. Geom. Phys. 26 (1998), p. 79-96. | MR | Zbl

[6] J.-P. Dufour & N. T. Zung - Poisson structures and their normal forms, Progress in Mathematics, vol. 242, Birkhäuser, 2005. | MR | Zbl

[7] J. Écalle - « Singularités non abordables par la géométrie », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 42 (1992), p. 73-164. | Numdam | MR | Zbl

[8] R. Gérard & Y. Sibuya - « Étude de certains systèmes de Pfaff avec singularités », in Équations différentielles et systèmes de Pfaff dans le champ complexe (Sem., Inst. Rech. Math. Avancée, Strasbourg, 1975), Lecture Notes in Math., vol. 712, Springer, 1979, p. 131-288. | MR | Zbl

[9] P. Lohrmann - « Normalisation holomorphe de structures de Poisson », article soumis. | Zbl

[10] B. Malgrange - Ideals of differentiable functions, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, No. 3, Tata Institute of Fundamental Research, 1967. | MR | Zbl

[11] J. Martinet & J.-P. Ramis - « Problèmes de modules pour des équations différentielles non linéaires du premier ordre », Publ. Math. I.H.É.S. 55 (1982), p. 63-164. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[12] -, « Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre », Ann. Sci. École Norm. Sup. 16 (1983), p. 571-621. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[13] A. Newlander & L. Nirenberg - « Complex analytic coordinates in almost complex manifolds », Ann. of Math. 65 (1957), p. 391-404. | MR | Zbl

[14] J.-P. Ramis - « Les séries k-sommables et leurs applications », in Complex analysis, microlocal calculus and relativistic quantum theory (Proc. Internat. Colloq., Centre Phys., Les Houches, 1979), Lecture Notes in Phys., vol. 126, Springer, 1980, p. 178-199. | MR | Zbl

[15] L. Stolovitch - « Sur un théorème de Dulac », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 44 (1994), p. 1397-1433. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[16] -, « Classification analytique de champs de vecteurs 1-résonnants de (𝐂 n ,0) », Asymptotic Anal. 12 (1996), p. 91-143. | MR | Zbl

[17] -, « Singular complete integrability », Publ. Math. I.H.É.S. 91 (2000), p. 133-210. | EuDML | MR | Zbl

[18] -, « Sur les structures de Poisson singulières », Ergodic Theory Dynam. Systems 24 (2004), p. 1833-1863. | MR | Zbl

[19] -, « Normalisation holomorphe d'algèbres de type Cartan de champs de vecteurs holomorphes singuliers », Ann. of Math. 161 (2005), p. 589-612. | MR | Zbl

[20] J.-C. Tougeron - Idéaux de fonctions différentiables, Springer, 1972, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 71. | MR | Zbl

[21] S. M. Voronin - « Analytic classification of germs of conformal mappings (𝐂,0)(𝐂,0) », Funktsional. Anal. i Prilozhen. 15 (1981), p. 1-17, 96. | MR | Zbl

[22] A. Weinstein - « The local structure of Poisson manifolds », J. Differential Geom. 18 (1983), p. 523-557. | MR | Zbl

Cited by Sources: